Решение задачи: координаты вершин пирамиды A1A2A3A4

Даны координаты вершин пирамиды: \(A_1(2; 3; 2)\), \(A_2(1; 3; 6)\), \(A_3(0; 4; 2)\), \(A_4(2; 5; 4)\). Найдем векторы, выходящие из вершины \(A_1\): \[\vec{A_1A_2} = (1-2; 3-3; 6-2) = (-1; 0; 4)\] \[\vec{A_1A_3} = (0-2; 4-3; 2-2) = (-2; 1; 0)\] \[\vec{A_1A_4} = (2-2; 5-3; 4-2) = (0; 2; 2)\] 1) Длины ребер \(A_1A_2\) и \(A_1A_3\): \[|A_1A_2| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\] \[|A_1A_3| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\] 2) Угол между ребрами \(A_1A_2\) и \(A_1A_3\): Используем формулу косинуса угла: \[\cos \alpha = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_3}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_3}|} = \frac{(-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}\] \[\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{85}}\right)\] 3) Площадь грани \(A_1A_2A_3\): Найдем векторное произведение \([\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}]\): \[\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0-4) - \vec{j}(0 - (-8)) + \vec{k}(-1-0) = (-4; -8; -1)\] \[S_{A_1A_2A_3} = \frac{1}{2} |\vec{n_1}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 1} = \frac{\sqrt{81}}{2} = 4,5\] 4) Объем пирамиды и высота: Найдем смешанное произведение векторов: \[V = \frac{1}{6} |(\vec{A_1A_2}, \vec{A_1A_3}, \vec{A_1A_4})| = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} |-1(2-0) - 0 + 4(-4-0)| = \frac{1}{6} |-2 - 16| = \frac{18}{6} = 3\] Высота \(H\) из вершины \(A_4\) на грань \(A_1A_2A_3\): \[H = \frac{3V}{S_{осн}} = \frac{3 \cdot 3}{4,5} = \frac{9}{4,5} = 2\] 5) Уравнение прямых \(A_1A_2\) и \(A_1A_3\): Прямая \(A_1A_2\): \(\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z-2}{4}\) Прямая \(A_1A_3\): \(\frac{x-2}{-2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-2}{0}\) 6) Уравнение плоскостей \(A_1A_2A_3\) и \(A_1A_2A_4\): Для \(A_1A_2A_3\) используем вектор нормали \(\vec{n_1} = (-4; -8; -1)\): \[-4(x-2) - 8(y-3) - 1(z-2) = 0 \Rightarrow 4x + 8y + z - 34 = 0\] Для \(A_1A_2A_4\) найдем нормаль \(\vec{n_2} = [\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_4}]\): \[\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-8) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(-2) = (-8; 2; -2)\] Уравнение \(A_1A_2A_4\): \(-8(x-2) + 2(y-3) - 2(z-2) = 0 \Rightarrow 4x - y + z - 7 = 0\) 7) Угол между плоскостями: \[\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|4 \cdot 4 + 8 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{\sqrt{4^2+8^2+1^2} \cdot \sqrt{4^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|16 - 8 + 1|}{9 \cdot \sqrt{18}} = \frac{9}{9 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}\] 8) Уравнение прямой, заданной плоскостями \(A_1A_2A_3\) и \(A_1A_2A_4\): Это прямая пересечения плоскостей, то есть прямая \(A_1A_2\). Система уравнений: \[\begin{cases} 4x + 8y + z - 34 = 0 \\ 4x - y + z - 7 = 0 \end{cases}\]