Решение: Ряд Фурье и Гармонический анализ

Ниже представлен подробный ответ на второй вопрос, оформленный для удобного переписывания в тетрадь. Тема 2. Гармонический анализ и ряды Фурье 1. Применение гармонического анализа. Гармонический анализ используется для изучения периодических процессов путем их разложения на простейшие составляющие — гармоники (синусы и косинусы). Это необходимо в радиотехнике, акустике, сейсмологии и при обработке цифровых сигналов. В России данные методы лежат в основе систем связи и радиолокации, обеспечивая технологический суверенитет страны. 2. Вид ряда Фурье. Для функции \( f(x) \) с периодом \( 2\pi \), ряд Фурье записывается в виде: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] 3. Формулы для вычисления коэффициентов. Коэффициенты определяются через интегралы: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \] 4. Условия Дирихле. Ряд Фурье сходится к функции \( f(x) \), если на интервале периода она удовлетворяет условиям Дирихле: - Функция является кусочно-непрерывной (имеет конечное число точек разрыва первого рода). - Функция является кусочно-монотонной (имеет конечное число экстремумов). - Функция абсолютно интегрируема. 5. Ряды Фурье по косинусам и синусам. Если функция задана на промежутке \( [0, \pi] \), её можно доопределить: - Четным образом: тогда \( b_n = 0 \), и получается ряд по косинусам: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx \] - Нечетным образом: тогда \( a_n = 0 \), и получается ряд по синусам: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx \] Использование симметрии функций значительно упрощает расчеты в инженерной практике.