Решение задачи: треугольник MNK, нахождение углов и сторон

Ниже представлено решение первых трех задач из вашего списка в формате, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: \(\triangle MNK\), \(\angle N = 30^\circ\), \(\angle K = 105^\circ\), \(NK = 3\sqrt{2}\). Найти: \(\angle M\), \(MN\), \(MK\). Решение: 1) Найдем угол \(M\), используя сумму углов треугольника: \[\angle M = 180^\circ - (\angle N + \angle K) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ\] 2) По теореме синусов: \[\frac{NK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin N} = \frac{MN}{\sin K}\] 3) Найдем \(MK\): \[MK = \frac{NK \cdot \sin N}{\sin M} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\] 4) Найдем \(MN\). Для этого вычислим \(\sin 105^\circ\): \[\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\] \[MN = \frac{NK \cdot \sin K}{\sin M} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}\] Ответ: \(\angle M = 45^\circ\), \(MK = 3\), \(MN = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}\). Задача 2. Дано: \(A(1; 7)\), \(B(-2; 4)\), \(C(2; 0)\). Найти: \(\cos A\), \(\cos B\), \(\cos C\). Решение: 1) Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками: \[AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[BC = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-7)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] 2) По теореме косинусов найдем косинусы углов: \[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{36}{60} = 0,6\] \[\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{18 + 32 - 50}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{0}{48} = 0\] (Значит, \(\angle B = 90^\circ\)) \[\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{50 + 32 - 18}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{64}{80} = 0,8\] Ответ: \(\cos A = 0,6\); \(\cos B = 0\); \(\cos C = 0,8\). Задача 3. Дано: \(a = 4\) см, \(b = 7\) см, \(\cos \gamma = -\frac{2}{7}\). Найти: \(c\), \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\sin \gamma\). Решение: 1) Найдем третью сторону \(c\) по теореме косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = 16 + 49 + 16 = 81\] \[c = \sqrt{81} = 9 \text{ см}\] 2) Найдем \(\sin \gamma\), используя основное тригонометрическое тождество (\(\sin \gamma > 0\) для углов треугольника): \[\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}\] 3) По теореме синусов найдем остальные синусы: \[\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \cdot \sin \gamma}{c} = \frac{4 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}{9} = \frac{12\sqrt{5}}{63} = \frac{4\sqrt{5}}{21}\] \[\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \cdot \sin \gamma}{c} = \frac{7 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}{9} = \frac{3\sqrt{5}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3}\] Ответ: сторона 9 см; синусы углов: \(\frac{4\sqrt{5}}{21}\), \(\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(\frac{3\sqrt{5}}{7}\).