Решение задачи 25а: Нахождение двугранного угла

Задача 25, а Дано: \(DN = 5\); \(DK = 10\); \(\angle DNK = 90^{\circ}\); \(\angle DKB = 90^{\circ}\). Найти: двугранный угол между плоскостями, который на чертеже обозначен как \(\angle DSBN\) (угол между полуплоскостями с общим ребром \(SB\)). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(DNK\). По условию \(\angle DNK = 90^{\circ}\), значит треугольник прямоугольный. В этом треугольнике \(DK\) является гипотенузой, а \(DN\) — катетом. Заметим, что: \[ \frac{DN}{DK} = \frac{5}{10} = \frac{1}{1} = 0,5 \] Отношение катета к гипотенузе равно синусу противолежащего угла: \[ \sin(\angle DKN) = \frac{DN}{DK} = 0,5 \] Следовательно, \(\angle DKN = 30^{\circ}\). 2. Определим линейный угол двугранного угла. По условию \(DK \perp KB\) (так как \(\angle DKB = 90^{\circ}\)). Также из прямоугольного треугольника \(DNK\) следует, что \(NK \perp DN\). На чертеже видно, что линия \(SB\) является ребром двугранного угла. Отрезки \(NK\) и \(DK\) лежат в соответствующих плоскостях и перпендикулярны ребру \(SB\) (или параллельной ему линии пересечения в точке \(K\)). Таким образом, искомый двугранный угол измеряется линейным углом \(\angle DKN\). 3. Мы уже нашли, что \(\angle DKN = 30^{\circ}\). Ответ: \(30^{\circ}\).