Решение задачи: Сумма трехзначных чисел

Задача Пусть десятизначное число состоит из цифр \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10} \), где каждая цифра от 0 до 9 встречается ровно один раз. Сумма восьми трехзначных чисел \( S \) записывается следующим образом: \[ S = \overline{a_1 a_2 a_3} + \overline{a_2 a_3 a_4} + \overline{a_3 a_4 a_5} + \overline{a_4 a_5 a_6} + \overline{a_5 a_6 a_7} + \overline{a_6 a_7 a_8} + \overline{a_7 a_8 a_9} + \overline{a_8 a_9 a_{10}} \] Разложим каждое число по разрядам: \[ \overline{a_i a_{i+1} a_{i+2}} = 100a_i + 10a_{i+1} + a_{i+2} \] Теперь соберем коэффициенты при каждой цифре \( a_k \): Цифра \( a_1 \) входит только как сотни в первое число: \( 100a_1 \). Цифра \( a_2 \) входит как десятки в первое и сотни во второе: \( (10+100)a_2 = 110a_2 \). Цифра \( a_3 \) входит как единицы в первое, десятки во второе и сотни в третье: \( (1+10+100)a_3 = 111a_3 \). Аналогично для остальных: Цифры \( a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8 \) имеют коэффициент 111. Цифра \( a_9 \) имеет коэффициент \( 1+10 = 11 \). Цифра \( a_{10} \) имеет коэффициент 1. Итоговая формула суммы: \[ S = 100a_1 + 110a_2 + 111(a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8) + 11a_9 + a_{10} \] Чтобы минимизировать \( S \), нужно бóльшие коэффициенты умножать на меньшие цифры. Самый большой коэффициент 111 у шести цифр. Чтобы сумма была минимальной, отдадим этим позициям самые большие цифры: 9, 8, 7, 6, 5, 4. Тогда для оставшихся позиций с коэффициентами 110, 100, 11 и 1 выберем цифры 0, 1, 2, 3. Распределим их: Коэффициент 110 — цифра 0 (\( a_2 = 0 \)). Коэффициент 100 — цифра 1 (\( a_1 = 1 \)). Коэффициент 11 — цифра 2 (\( a_9 = 2 \)). Коэффициент 1 — цифра 3 (\( a_{10} = 3 \)). Заметим, что сумма всех цифр от 0 до 9 равна 45. Сумма \( a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 45 - (a_1 + a_2 + a_9 + a_{10}) = 45 - (1 + 0 + 2 + 3) = 39 \). Подставим значения в формулу: \[ S = 100 \cdot 1 + 110 \cdot 0 + 111 \cdot 39 + 11 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \] \[ S = 100 + 0 + 4329 + 22 + 3 \] \[ S = 4454 \] Пример такого числа: 1098765423. Ответ: 4454.