Решение: Тест 5. Координаты вектора. Вариант 1

Тест 5. Координаты вектора Вариант 1 А1. Найдите числа \(x\) и \(y\), если выполнено равенство \(3\vec{a} - y\vec{b} = x\vec{a} + 2\vec{b}\) и векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны. Решение: Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то равенство \(k_1\vec{a} + m_1\vec{b} = k_2\vec{a} + m_2\vec{b}\) возможно только тогда, когда коэффициенты при соответствующих векторах равны. Следовательно: \[x = 3\] \[-y = 2 \Rightarrow y = -2\] Ответ: 3) \(x = 3, y = -2\). А2. В прямоугольнике \(ABCD\) дано: \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\), \(E \in BC\), \(BE : EC = 2 : 3\). Найдите разложение вектора \(\vec{DE}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Решение: 1) По правилу сложения векторов: \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BE}\). 2) \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}\). 3) \(\vec{AB} = \vec{a}\). 4) Сторона \(BC\) равна стороне \(AD\), значит \(BC = |\vec{b}|\). Точка \(E\) делит \(BC\) в отношении \(2:3\), значит \(BE = \frac{2}{2+3}BC = \frac{2}{5}BC\). В векторном виде: \(\vec{BE} = \frac{2}{5}\vec{BC}\). Так как \(ABCD\) — прямоугольник, \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\). Значит, \(\vec{BE} = \frac{2}{5}\vec{b}\). 5) Подставим в формулу: \[\vec{DE} = -\vec{b} + \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} = \vec{a} + (\frac{2}{5} - 1)\vec{b} = \vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}\] Ответ: 4) \(\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}\). А3. Найдите координаты вектора \(\vec{m} = 3\vec{a} - 2\vec{b}\), если \(\vec{a}\{-2; 1\}\) и \(\vec{b}\{-3; 2\}\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(3\vec{a}\): \[3\vec{a} = \{3 \cdot (-2); 3 \cdot 1\} = \{-6; 3\}\] 2) Найдем координаты вектора \(2\vec{b}\): \[2\vec{b} = \{2 \cdot (-3); 2 \cdot 2\} = \{-6; 4\}\] 3) Найдем разность векторов: \[\vec{m} = \{-6 - (-6); 3 - 4\} = \{0; -1\}\] Ответ: 1) \(\{0; -1\}\). В1. Векторы \(\vec{a}\{2; 4\}\) и \(\vec{b}\{m - 1; 8\}\) коллинеарны. Найдите число \(m\). Решение: У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны: \[\frac{m - 1}{2} = \frac{8}{4}\] \[\frac{m - 1}{2} = 2\] \[m - 1 = 4\] \[m = 5\] Ответ: 5.