Решение задач по геометрии с векторами

Решение задач по геометрии. Задача В1. Дано: векторы \(\vec{a}\{2; 4\}\) и \(\vec{b}\{m - 1; 8\}\) коллинеарны. Найти \(m\). Решение: У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Составим пропорцию: \[ \frac{m - 1}{2} = \frac{8}{4} \] \[ \frac{m - 1}{2} = 2 \] \[ m - 1 = 4 \] \[ m = 5 \] Ответ: \(m = 5\). Задача В2. Дано: \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\), \(E \in BD\), \(BE : ED = 3 : 4\). Найти разложение вектора \(\vec{ED}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Решение: 1. Сначала найдем вектор \(\vec{BD}\) по правилу вычитания векторов: \[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \] 2. По условию точка \(E\) делит отрезок \(BD\) в отношении \(3 : 4\). Это значит, что весь отрезок \(BD\) состоит из \(3 + 4 = 7\) частей. 3. Вектор \(\vec{ED}\) сонаправлен с вектором \(\vec{BD}\) и составляет \(\frac{4}{7}\) его длины: \[ \vec{ED} = \frac{4}{7} \vec{BD} \] 4. Подставим выражение для \(\vec{BD}\): \[ \vec{ED} = \frac{4}{7} (\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b} \] Ответ: \(\vec{ED} = -\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}\). Задача С1. При каком значении \(m\) векторы \(\vec{a}\{8; m - 2\}\) и \(\vec{b}\{m; 1\}\) коллинеарны? Решение: Условие коллинеарности векторов — пропорциональность их координат: \[ \frac{8}{m} = \frac{m - 2}{1} \] Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): \[ m(m - 2) = 8 \cdot 1 \] \[ m^2 - 2m - 8 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ m_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ m_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] Ответ: \(m = 4\) или \(m = -2\).