Решение: Контрольная работа №3 «Площади четырехугольников», Вариант 2

Контрольная работа №3 «Площади четырехугольников» Вариант 2 Задача 1. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \( a = 15 \) см, \( b = 20 \) см. Найти: \( S \). Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 150 \( \text{см}^2 \). Задача 2. Дано: прямоугольник, \( a = 2 \) м, \( b \) в 8 раз больше. Найти: \( S \). Решение: 1) Найдем вторую сторону: \[ b = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (м)} \] 2) Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b \] \[ S = 2 \cdot 16 = 32 \text{ (м}^2\text{)} \] Ответ: 32 \( \text{м}^2 \). Задача 3. Дано: параллелограмм, сторона \( a = 20 \), высота \( h_a = 23 \). Найти: \( S \). Решение: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к ней: \[ S = a \cdot h_a \] \[ S = 20 \cdot 23 = 460 \] Ответ: 460. Задача 4. Дано: равнобедренная трапеция, основания \( a = 4 \), \( b = 24 \), угол \( \alpha = 135^\circ \). Найти: \( S \). Решение: 1) Угол при большем основании равен \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). 2) Проведем высоту \( h \) из вершины тупого угла. Отрезок на большем основании равен: \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{24 - 4}{2} = 10 \] 3) В прямоугольном треугольнике с углом \( 45^\circ \) катеты равны, значит \( h = x = 10 \). 4) Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] \[ S = \frac{4 + 24}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140 \] Ответ: 140. Задача 5. Дано: ромб, сторона \( a = 33 \), диагональ \( d_1 = 24 \), угол против нее \( \beta = 120^\circ \). Найти: \( S \). Решение: Так как угол против диагонали \( 120^\circ \), то угол при вершине ромба равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Площадь ромба через сторону и угол: \[ S = a^2 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S = 33^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1089 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 544,5\sqrt{3} \] (Примечание: если в условии опечатка и нужно использовать диагонали, расчет может измениться, но по данным числам решение такое). Ответ: \( 544,5\sqrt{3} \). Задача 6. Дано: параллелограмм, стороны \( a = 15 \), \( b = 12 \), высота к большей стороне \( h_a = 8 \). Найти: \( h_b \). Решение: Площадь параллелограмма: \[ S = a \cdot h_a = 15 \cdot 8 = 120 \] Также \( S = b \cdot h_b \), отсюда: \[ h_b = \frac{S}{b} = \frac{120}{12} = 10 \text{ (см)} \] Ответ: 10 см. Задача 7. Дано: прямоугольник, \( a = 14 \), периметр \( P = 54 \). Найти: \( S \). Решение: 1) Формула периметра: \( P = 2(a + b) \). \[ 54 = 2(14 + b) \] \[ 27 = 14 + b \] \[ b = 27 - 14 = 13 \] 2) Площадь: \[ S = a \cdot b = 14 \cdot 13 = 182 \] Ответ: 182.