Решение задачи: MN || AC (Вариант 2)

Вариант 2 Задача 1 Дано: \(MN \parallel AC\) а) Доказать: \(AB \cdot BN = CB \cdot BM\) б) Найти \(MN\), если \(AM = 6\) см, \(BM = 8\) см, \(AC = 21\) см. Решение: а) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). 1. Угол \(B\) — общий для обоих треугольников. 2. Так как \(MN \parallel AC\), то \(\angle BMN = \angle BAC\) как соответствующие углы при параллельных прямых и секущей \(AB\). Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle MBN\) по двум углам (первый признак подобия). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{MB} = \frac{CB}{NB} \] Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: \[ AB \cdot BN = CB \cdot BM \] Что и требовалось доказать. б) Найдем сторону \(AB\): \[ AB = AM + BM = 6 + 8 = 14 \text{ (см)} \] Так как \(\triangle ABC \sim \triangle MBN\), запишем отношение сторон для нахождения \(MN\): \[ \frac{MN}{AC} = \frac{BM}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{MN}{21} = \frac{8}{14} \] Выразим \(MN\): \[ MN = \frac{21 \cdot 8}{14} \] Сократим дробь на 7: \[ MN = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ (см)} \] Ответ: \(MN = 12\) см.