Решение: Статически неопределимые системы при кручении

Билет № 16 Вопрос 1. Статически неопределимые системы при кручении. Статически неопределимыми называются такие системы, в которых число неизвестных реакций связей или внутренних усилий превышает число независимых уравнений статики. При кручении такие задачи возникают, когда вал закреплен обоими концами или имеет дополнительные опоры, препятствующие свободному повороту сечений. Для решения таких задач к уравнениям равновесия (сумма моментов относительно оси вала равна нулю) добавляют уравнения совместности деформаций. Уравнение совместности деформаций основывается на том, что полный угол закручивания вала между жесткими заделками равен нулю: \[ \phi = \sum \frac{M_{zi} \cdot l_i}{G \cdot I_{pi}} = 0 \] где \( M_{zi} \) — крутящий момент на участке, \( l_i \) — длина участка, \( G \) — модуль сдвига, \( I_{pi} \) — полярный момент инерции сечения. Вопрос 2. Положение нейтральной линии при внецентренном сжатии. Внецентренное сжатие — это вид нагружения, при котором сжимающая сила \( F \) приложена с эксцентриситетом относительно центра тяжести сечения. Нейтральная линия — это геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю. Уравнение нейтральной линии в координатах \( x \) и \( y \) имеет вид: \[ 1 + \frac{y_F \cdot y}{i_x^2} + \frac{x_F \cdot x}{i_y^2} = 0 \] где \( x_F, y_F \) — координаты точки приложения силы, \( i_x, i_y \) — радиусы инерции сечения. Свойства нейтральной линии: 1. Она не проходит через центр тяжести сечения. 2. Она всегда находится со стороны, противоположной точке приложения силы. 3. Чем ближе сила к центру тяжести, тем дальше нейтральная линия от него. Задача 3. Решение стержневой системы. Дано: \( F = 700 \) кН \( = 700 \cdot 10^3 \) Н; \( A_2 / A_1 = 1,4 \); \( [\sigma] = 160 \) МПа \( = 160 \cdot 10^6 \) Па; Углы наклона стержней: \( \alpha_1 = 30^\circ \), \( \alpha_2 = 60^\circ \). Плечи сил: \( AC = a \), \( AF = 2a \), \( AB = 3a \). 1. Определение степени статической неопределимости. Система имеет одну жесткую заделку (шарнир А), дающую 2 реакции, и 2 стержня с неизвестными усилиями \( N_1 \) и \( N_2 \). Итого 4 неизвестных. Уравнений статики для плоскости — 3. Степень неопределимости: \( n = 4 - 3 = 1 \). 2. Раскрытие неопределимости и определение усилий. Составим уравнение моментов относительно точки А: \[ \sum M_A = 0: N_2 \cdot \sin(60^\circ) \cdot a - F \cdot 2a + N_1 \cdot \sin(30^\circ) \cdot 3a = 0 \] Разделим на \( a \): \[ N_2 \cdot 0,866 - 2F + 1,5 \cdot N_1 = 0 \quad (1) \] Уравнение совместности деформаций (из подобия треугольников перемещений жесткой балки): \[ \frac{\Delta l_2 / \sin(60^\circ)}{a} = \frac{\Delta l_1 / \sin(30^\circ)}{3a} \] \[ 3 \cdot \frac{N_2 \cdot L_2}{E \cdot A_2 \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{N_1 \cdot L_1}{E \cdot A_1 \cdot \sin(30^\circ)} \] Примем длины стержней \( L_1 \approx L_2 \) для упрощения (если не указано иное). С учетом \( A_2 = 1,4 A_1 \): \[ \frac{3 \cdot N_2}{1,4 \cdot 0,866} = \frac{N_1}{0,5} \Rightarrow N_2 = \frac{1,4 \cdot 0,866}{3 \cdot 0,5} N_1 \approx 0,808 N_1 \] Подставим в (1): \[ 0,808 N_1 \cdot 0,866 - 2 \cdot 700 + 1,5 N_1 = 0 \] \[ 0,7 N_1 + 1,5 N_1 = 1400 \Rightarrow 2,2 N_1 = 1400 \] \[ N_1 = 636,36 \text{ кН} \] \[ N_2 = 0,808 \cdot 636,36 = 514,18 \text{ кН} \] 3. Подбор сечения. Для стержня 1: \[ A_{1,треб} = \frac{N_1}{[\sigma]} = \frac{636,36 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 39,77 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 39,77 \text{ см}^2 \] Так как стержень из двух уголков, площадь одного уголка: \( A_{уг} = 39,77 / 2 = 19,88 \text{ см}^2 \). По ГОСТ 8509-93 выбираем уголок 100х100х10 (\( A = 19,2 \text{ см}^2 \)) или 110х110х10 (\( A = 21,2 \text{ см}^2 \)). Примем 110х110х10, тогда \( A_1 = 42,4 \text{ см}^2 \). Для стержня 2: \[ A_2 = 1,4 \cdot A_1 = 1,4 \cdot 42,4 = 59,36 \text{ см}^2 \] Площадь одного уголка: \( 59,36 / 2 = 29,68 \text{ см}^2 \). Выбираем уголок 140х140х11 (\( A = 30,1 \text{ см}^2 \)), тогда \( A_2 = 60,2 \text{ см}^2 \). 4. Грузоподъемность по методу допускаемых нагрузок. \[ F_{доп} = \frac{N_{1,пред} \cdot 2,2}{2} = \frac{[\sigma] \cdot A_1 \cdot 2,2}{2} \] \[ F_{доп} = \frac{160 \cdot 10^6 \cdot 42,4 \cdot 10^{-4} \cdot 2,2}{2} = 746,24 \text{ кН} \]