Решение задачи по геометрии: расстояние от точки до прямой

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)) \( AC = 15 \) м, \( BC = 20 \) м \( CD \perp (ABC) \), \( CD = 35 \) м Найти: расстояние от \( D \) до \( AB \). Решение: 1. Проведем \( CH \perp AB \). По теореме о трех перпендикулярах, так как \( CD \perp (ABC) \) и \( CH \perp AB \), то наклонная \( DH \perp AB \). Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка \( DH \). 2. Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ (м)} \] 3. Высоту \( CH \) прямоугольного треугольника \( ABC \) найдем через площадь или по формуле: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ (м)} \] 4. Рассмотрим \( \triangle DCH \). Так как \( CD \perp (ABC) \), то \( \angle DCH = 90^\circ \). По теореме Пифагора: \[ DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37 \text{ (м)} \] Ответ: 37 м. Задача 2 Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( c \) — прямая пересечения плоскостей. \( A \in \alpha \), \( B \in \beta \). \( AC \perp c \), \( BD \perp c \) (\( C, D \in c \)). \( BC = 7 \) м, \( AD = 4 \) м, \( CD = 1 \) м. Найти: \( AB \). Решение: 1. Так как плоскости перпендикулярны и \( AC \perp c \), то \( AC \perp \beta \). Значит, \( AC \) перпендикулярна любой прямой в плоскости \( \beta \), то есть \( AC \perp CD \) и \( AC \perp CB \). 2. Из прямоугольного \( \triangle ACD \) найдем \( AC \): \[ AC^2 = AD^2 - CD^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15 \] 3. Рассмотрим \( \triangle ACB \). Так как \( AC \perp \beta \), то \( \angle ACB = 90^\circ \). По теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15 + 7^2} = \sqrt{15 + 49} = \sqrt{64} = 8 \text{ (м)} \] Ответ: 8 м.