Решение задач по векторам: скалярное произведение и угол

Задача №1 Дано: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = -15 \] \[ |\vec{m}| = 5, |\vec{n}| = 6 \] Найти: \[ \cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}) - ? \] Решение: Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}) \] Отсюда выразим косинус угла между векторами: \[ \cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} \] Подставим числовые значения: \[ \cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}) = \frac{-15}{5 \cdot 6} = \frac{-15}{30} = -0,5 \] Ответ: -0,5. Задача №2 Дано: Треугольник ABC с вершинами в точках: \[ A(4; 1), B(-2; 3), C(0; -5) \] Найти: а) \( \cos \angle A \) б) \( S_{ABC} \) Решение: а) Найдем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), исходящих из вершины A: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 4; 3 - 1) = (-6; 2) \] \[ \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (0 - 4; -5 - 1) = (-4; -6) \] Найдем длины этих векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Найдем скалярное произведение векторов: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-6) \cdot (-4) + 2 \cdot (-6) = 24 - 12 = 12 \] Вычислим косинус угла A: \[ \cos \angle A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{12}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{52}} = \frac{12}{\sqrt{2080}} = \frac{12}{4\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}} \] б) Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой через координаты: \[ S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)| \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} |(-6) \cdot (-6) - (-4) \cdot 2| = \frac{1}{2} |36 - (-8)| = \frac{1}{2} |36 + 8| = \frac{1}{2} \cdot 44 = 22 \] Ответ: а) \( \frac{3}{\sqrt{130}} \); б) 22.