Решение задач: Двоичная система счисления

Ниже представлены решения задач из ваших карточек, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Сколько единиц содержит двоичная запись числа 82? Решение: Переведем число 82 в двоичную систему счисления путем деления на 2: \[ 82 = 64 + 16 + 2 = 2^6 + 2^4 + 2^1 \] В двоичном виде это: \( 1010010_2 \). Посчитаем количество единиц: их 3. Ответ: 3. Задание 2. Какое из чисел \( a \), записанных в двоичной системе, удовлетворяет условию \( 200_8 < a < 84_{16} \)? Решение: Переведем границы в десятичную систему: \[ 200_8 = 2 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 0 \cdot 8^0 = 128_{10} \] \[ 84_{16} = 8 \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 128 + 4 = 132_{10} \] Условие: \( 128 < a < 132 \). Подходят числа 129, 130, 131. Проверим варианты: 1) \( 10000110_2 = 128 + 4 + 2 = 134 \) (не подходит) 2) \( 10000000_2 = 128 \) (не подходит, строгое неравенство) 3) \( 11000010_2 = 128 + 64 + 2 = 194 \) (не подходит) 4) \( 10000010_2 = 128 + 2 = 130 \) (подходит) Ответ: 4. Задание 3. Выполните сложение: \( 5A_{16} + 7D_{16} \). Решение: Складываем в столбик: \( A + D = 10 + 13 = 23 \). В шестнадцатеричной системе это \( 23 - 16 = 7 \) и 1 в уме. \( 5 + 7 + 1 = 13 \). В шестнадцатеричной системе 13 — это буква \( D \). Результат: \( D7 \). Ответ: D7. Задание 4. Выполните вычитание: \( 100001_2 - 10011_2 \). Решение: \[ 100001_2 (33_{10}) - 10011_2 (19_{10}) = 14_{10} \] Переведем 14 в двоичную систему: \( 1110_2 \). Ответ: 1110. Задание 5. Укажите имя, для которого ЛОЖНО высказывание: НЕ (Первая буква согласная) ИЛИ НЕ (Последняя буква согласная). Решение: По закону де Моргана: НЕ (А) ИЛИ НЕ (В) = НЕ (А И В). Высказывание ложно, когда истинно выражение: (Первая буква согласная) И (Последняя буква согласная). 1) Оливия: О (гл), я (гл) — Ложь 2) Катерина: К (согл), а (гл) — Ложь 3) Сергей: С (согл), й (согл) — Истина 4) Афанасий: А (гл), й (согл) — Ложь Ответ: 3. Задание 6. Заполните таблицу истинности выражения \( (A \wedge B) \wedge A \). Решение: Это выражение равносильно \( A \wedge B \). A | B | (A ∧ B) ∧ A 0 | 0 | 0 0 | 1 | 0 1 | 0 | 0 1 | 1 | 1 Задание 7. Заполните таблицу истинности выражения \( B \vee \neg (\neg A \vee B \wedge C) \). Решение: A | B | C | ¬A | B∧C | ¬A∨(B∧C) | ¬(¬A∨(B∧C)) | Итог 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 Задание 8. Исполнитель Делитель. Команды: 1. раздели на 2; 2. прибавь 1. Получить из 36 число 6 (не более 5 команд). Решение: 1) 36 : 2 = 18 (команда 1) 2) 18 : 2 = 9 (команда 1) 3) 9 + 1 = 10 (команда 2) — не ведет к цели быстро. Попробуем иначе: 1) 36 : 2 = 18 (команда 1) 2) 18 + 1 = 19 (не подходит) Попробуем с конца (от 6 к 36): 6 * 2 = 12, 12 * 2 = 24, 24 + ... нет. 6 + 1 = 7, 7 + 1 = 8, 8 * 2 = 16, 16 * 2 = 32, 32 + ... нет. Правильный путь: 1) 36 : 2 = 18 (команда 1) 2) 18 : 2 = 9 (команда 1) 3) 9 + 1 = 10 (команда 2) 4) 10 + 1 = 11 (команда 2) 5) 11 + 1 = 12 (команда 2) — не 6. Еще вариант: 1) 36 + 1 = 37 (нет) 2) 36 : 2 = 18 (1) 3) 18 : 2 = 9 (1) 4) 9 : 2 (нельзя) Верный алгоритм: 1) 36 : 2 = 18 (команда 1) 2) 18 : 2 = 9 (команда 1) 3) 9 + 1 = 10 (команда 2) 4) 10 + 1 = 11 (команда 2) 5) 11 + 1 = 12 (команда 2) — Ошибка в условии или подборе. Пробуем: 36 -> 18 -> 9 -> 10 -> 5 -> 6. 1) 36 : 2 = 18 (1) 2) 18 : 2 = 9 (1) 3) 9 + 1 = 10 (2) 4) 10 : 2 = 5 (1) 5) 5 + 1 = 6 (2) Последовательность команд: 11212. Ответ: 11212.