Решение задачи 8: Упрощение выражений со степенями

Задание 8. Найдите значение выражения \[ \frac{m^{15} \cdot (n^3)^6}{(m \cdot n)^{16}} \] при \( m = 2 \) и \( n = \sqrt{7} \). Решение: 1. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: - При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (n^3)^6 = n^{3 \cdot 6} = n^{18} \). - При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: \( (m \cdot n)^{16} = m^{16} \cdot n^{16} \). 2. Подставим упрощенные части в исходную дробь: \[ \frac{m^{15} \cdot n^{18}}{m^{16} \cdot n^{16}} \] 3. Сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями (показатели вычитаются): \[ \frac{n^{18-16}}{m^{16-15}} = \frac{n^2}{m^1} = \frac{n^2}{m} \] 4. Подставим значения \( m = 2 \) и \( n = \sqrt{7} \) в полученное выражение: \[ \frac{(\sqrt{7})^2}{2} = \frac{7}{2} = 3,5 \] Ответ: 3,5.