Решение: Контроль знаний по теме. 1 вариант.

Контроль знаний по теме. 1 вариант. Задание 1. Найти первых пять членов последовательности, заданной условием: \( a_1 = 2 \) и формулой \( a_{n+1} = 8a_n + 4 \). Решение: 1) \( a_1 = 2 \) (по условию) 2) \( a_2 = 8 \cdot a_1 + 4 = 8 \cdot 2 + 4 = 16 + 4 = 20 \) 3) \( a_3 = 8 \cdot a_2 + 4 = 8 \cdot 20 + 4 = 160 + 4 = 164 \) 4) \( a_4 = 8 \cdot a_3 + 4 = 8 \cdot 164 + 4 = 1312 + 4 = 1316 \) 5) \( a_5 = 8 \cdot a_4 + 4 = 8 \cdot 1316 + 4 = 10528 + 4 = 10532 \) Ответ: 2; 20; 164; 1316; 10532. Задание 2. Перевести бесконечную периодическую десятичную дробь \( 0,(8) \) и \( 0,(26) \) в обыкновенную дробь. Решение: Для перевода периодической дроби в обыкновенную воспользуемся правилом: в числителе записывается период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде. 1) \( 0,(8) = \frac{8}{9} \) 2) \( 0,(26) = \frac{26}{99} \) Ответ: \( \frac{8}{9} \); \( \frac{26}{99} \). Задание 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если \( q = \frac{1}{3} \) и \( b_1 = \frac{1}{4} \). Решение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] Подставим данные значения: \[ S = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}} \] Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: \[ S = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \] В десятичном виде: \( 0,375 \). Ответ: \( \frac{3}{8} \) (или 0,375).