Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума

Ниже представлено решение первых нескольких задач из списка (так как их много, разберем основные типы). Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума используется производная функции. Задание: Найти точки экстремума и интервалы монотонности. 1) \( y = x^2 - x \) 1. Найдем производную: \[ y' = (x^2 - x)' = 2x - 1 \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5 \] 3. Определим знаки производной на интервалах: На интервале \( (-\infty; 0,5) \) производная \( y' < 0 \) (функция убывает). На интервале \( (0,5; +\infty) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). 4. Точка экстремума: Так как в точке \( x = 0,5 \) знак меняется с "-" на "+", то это точка минимума. Ответ: \( x_{min} = 0,5 \); убывает на \( (-\infty; 0,5] \), возрастает на \( [0,5; +\infty) \). 6) \( y = -x^2 + 2x - 3 \) 1. Производная: \[ y' = -2x + 2 \] 2. Критические точки: \[ -2x + 2 = 0 \implies x = 1 \] 3. Интервалы: При \( x < 1 \), \( y' > 0 \) (возрастает). При \( x > 1 \), \( y' < 0 \) (убывает). 4. Экстремум: Знак меняется с "+" на "-", значит \( x = 1 \) — точка максимума. Ответ: \( x_{max} = 1 \); возрастает на \( (-\infty; 1] \), убывает на \( [1; +\infty) \). 7) \( y = x^3 - 27x \) 1. Производная: \[ y' = 3x^2 - 27 \] 2. Критические точки: \[ 3x^2 - 27 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = -3, x_2 = 3 \] 3. Интервалы (метод интервалов для \( 3(x-3)(x+3) \)): \( (-\infty; -3) \): \( y' > 0 \) (возрастает). \( (-3; 3) \): \( y' < 0 \) (убывает). \( (3; +\infty) \): \( y' > 0 \) (возрастает). 4. Экстремумы: \( x = -3 \) — точка максимума (с "+" на "-"). \( x = 3 \) — точка минимума (с "-" на "+"). Ответ: \( x_{max} = -3, x_{min} = 3 \); возрастает на \( (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) \), убывает на \( [-3; 3] \). 11) \( y = -x^4 + 4 \) 1. Производная: \[ y' = -4x^3 \] 2. Критические точки: \[ -4x^3 = 0 \implies x = 0 \] 3. Интервалы: При \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (возрастает). При \( x > 0 \), \( y' < 0 \) (убывает). 4. Экстремум: \( x = 0 \) — точка максимума. Ответ: \( x_{max} = 0 \); возрастает на \( (-\infty; 0] \), убывает на \( [0; +\infty) \). 17) \( y = -\frac{2}{x} + 1 \) 1. Производная: \[ y' = -2 \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{2}{x^2} \] 2. Критические точки: Производная не обращается в ноль. В точке \( x = 0 \) функция и производная не существуют. 3. Интервалы: Так как \( x^2 > 0 \) для всех \( x \neq 0 \), то \( y' > 0 \) на всей области определения. Ответ: Точек экстремума нет. Функция возрастает на \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \).