Нахождение вершины параболы: Решение задачи

Вариант 2 Задание 1. Найдите координаты вершины параболы. Для нахождения координат вершины параболы \( (m; n) \) используются формулы: \[ m = -\frac{b}{2a} \] \[ n = g(m) \] а) \( g(x) = x^2 + 4x + 2 \) Коэффициенты: \( a = 1, b = 4, c = 2 \). \[ m = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \] \[ n = g(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \] Ответ: \( (-2; -2) \). б) \( g(x) = -x^2 - 6x + 3 \) Коэффициенты: \( a = -1, b = -6, c = 3 \). \[ m = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3 \] \[ n = g(-3) = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12 \] Ответ: \( (-3; 12) \). в) \( g(x) = 4x^2 - 8x - 1 \) Коэффициенты: \( a = 4, b = -8, c = -1 \). \[ m = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \] \[ n = g(1) = 4 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \] Ответ: \( (1; -5) \). Задание 2. Построение графика и анализ функции \( g(x) = x^2 + 4x + 2 \). Для построения графика используем вершину \( (-2; -2) \) и дополнительные точки: Если \( x = 0 \), то \( y = 2 \). Если \( x = -1 \), то \( y = (-1)^2 + 4(-1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1 \). Если \( x = -3 \), то \( y = (-3)^2 + 4(-3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1 \). Если \( x = -4 \), то \( y = (-4)^2 + 4(-4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2 \). а) Нули функции и промежутки знака: Для нахождения нулей решим уравнение \( x^2 + 4x + 2 = 0 \): \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \] \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} \] Приблизительно: \( x_1 \approx -0,6 \); \( x_2 \approx -3,4 \). Нули функции: \( x = -2 - \sqrt{2} \) и \( x = -2 + \sqrt{2} \). Промежутки, в которых \( g(x) < 0 \): \( x \in (-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2}) \). Промежутки, в которых \( g(x) > 0 \): \( x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +\infty) \). б) Промежутки монотонности и экстремум: Функция убывает на промежутке: \( x \in (-\infty; -2] \). Функция возрастает на промежутке: \( x \in [-2; +\infty) \). Наименьшее значение функции: \( y_{min} = -2 \) (достигается при \( x = -2 \)).