Решение контрольной работы №5 по теме «Комплексные числа»

Контрольная работа №5 по теме «Комплексные числа». Вариант 2. Задание 1. Даны комплексные числа: \( z_1 = 2 + i \), \( z_2 = -3 - 2i \). Вычислите: а) \( z_1 + z_2 = (2 + i) + (-3 - 2i) = (2 - 3) + (1 - 2)i = -1 - i \) б) \( z_1 - z_2 = (2 + i) - (-3 - 2i) = 2 + i + 3 + 2i = 5 + 3i \) в) \( z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(-3 - 2i) = -6 - 4i - 3i - 2i^2 = -6 - 7i + 2 = -4 - 7i \) г) \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{-3 - 2i} = \frac{(2 + i)(-3 + 2i)}{(-3 - 2i)(-3 + 2i)} = \frac{-6 + 4i - 3i + 2i^2}{(-3)^2 + (-2)^2} = \frac{-6 + i - 2}{9 + 4} = \frac{-8 + i}{13} = -\frac{8}{13} + \frac{1}{13}i \) Задание 2. Вычислите: а) \( (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7 = (3^2 - i^2) - 6 - 2i + 7 = (9 + 1) + 1 - 2i = 10 + 1 - 2i = 11 - 2i \) б) \( i^{23} = i^{20} \cdot i^3 = (i^4)^5 \cdot (-i) = 1^5 \cdot (-i) = -i \) Задание 3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) \( z = -4 \). Модуль \( r = |-4| = 4 \). Аргумент \( \varphi = \pi \). \[ z = 4(\cos \pi + i \sin \pi) \] б) \( z = 2i \). Модуль \( r = 2 \). Аргумент \( \varphi = \frac{\pi}{2} \). \[ z = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \] в) \( z = 1 - i \). Модуль \( r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \). Аргумент \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \) (или \( \frac{7\pi}{4} \)). \[ z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) \] г) \( z = -\sqrt{3} + i \). Модуль \( r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \). Аргумент \( \varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \). \[ z = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) \] Задание 4. Комплексные числа представлены в тригонометрической форме: \( z_1 = 4(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}) \); \( z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) \). Вычислите: а) \( z_1 \cdot z_2 = 4 \cdot 2 (\cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) = 8(\cos \pi + i \sin \pi) = 8(-1 + 0i) = -8 \) б) \( z_2^5 = 2^5 (\cos(5 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(5 \cdot \frac{\pi}{4})) = 32(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) = 32(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -16\sqrt{2} - 16\sqrt{2}i \) Задание 5. Решите уравнения в комплексных числах: а) \( x^2 - 8x + 17 = 0 \) \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{-4} = 2i \] \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 2i}{2} = 4 \pm i \] Ответ: \( 4 + i; 4 - i \). б) \( x^2 + ix + 20 = 0 \) \[ D = i^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = -1 - 80 = -81 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{-81} = 9i \] \[ x_{1,2} = \frac{-i \pm 9i}{2} \] \[ x_1 = \frac{8i}{2} = 4i \] \[ x_2 = \frac{-10i}{2} = -5i \] Ответ: \( 4i; -5i \).