Решение контрольной работы №4 по теме «Неравенства с одной переменной»

Контрольная работа №4 по теме «Неравенства с одной переменной» Вариант 1 №1. Решите неравенство: а) \( 2x^2 - 13x + 6 < 0 \) Решим квадратное уравнение \( 2x^2 - 13x + 6 = 0 \): \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2 \] \[ x_1 = \frac{13 + 11}{4} = 6; \quad x_2 = \frac{13 - 11}{4} = 0,5 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Отрицательные значения находятся между корнями. Ответ: \( (0,5; 6) \) б) \( x^2 > 49 \) \[ x^2 - 49 > 0 \] \[ (x - 7)(x + 7) > 0 \] Корни: \( x = 7 \) и \( x = -7 \). По методу интервалов или свойству параболы: Ответ: \( (-\infty; -7) \cup (7; +\infty) \) №2. Решите неравенство методом интервалов: а) \( (x + 8)(x - 4) > 0 \) Нули функции: \( x = -8 \) и \( x = 4 \). Расставим знаки на числовой прямой: + (от \( -\infty \) до -8), - (от -8 до 4), + (от 4 до \( +\infty \)). Нам нужны промежутки со знаком "+". Ответ: \( (-\infty; -8) \cup (4; +\infty) \) б) \( \frac{x - 5}{x + 7} < 0 \) Нули числителя: \( x = 5 \). Нули знаменателя: \( x = -7 \). Отметим точки на прямой (обе выколотые). Знаки на интервалах: + (от \( -\infty \) до -7), - (от -7 до 5), + (от 5 до \( +\infty \)). Нам нужен промежуток со знаком "-". Ответ: \( (-7; 5) \) №3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \le 0 \\ -0,3x > 1,8 \end{cases} \] 1) Решим первое неравенство: \( x^2 + 9x + 8 \le 0 \). Корни уравнения \( x^2 + 9x + 8 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = -1, x_2 = -8 \). Решение: \( x \in [-8; -1] \). 2) Решим второе неравенство: \( -0,3x > 1,8 \). Разделим на -0,3, меняя знак неравенства: \[ x < \frac{1,8}{-0,3} \] \[ x < -6 \] 3) Найдем пересечение решений: \( x \in [-8; -1] \) и \( x < -6 \). Общая часть: \( [-8; -6) \). Ответ: \( [-8; -6) \) №4. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) \( \sqrt{(3 - 2x)(x + 7)} \) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ (3 - 2x)(x + 7) \ge 0 \] Нули: \( x = 1,5 \) и \( x = -7 \). При \( x = 0 \) выражение \( 3 \cdot 7 = 21 > 0 \), значит внутри интервала знак "+". Ответ: \( [-7; 1,5] \) б) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 4}} \) Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: \[ x^2 - 4x + 4 > 0 \] Заметим формулу квадрата разности: \[ (x - 2)^2 > 0 \] Квадрат любого числа неотрицателен, он равен нулю только при \( x = 2 \). Значит, неравенство верно при всех \( x \), кроме 2. Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \) №5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}{2x - 18} \] Должны выполняться два условия: 1) Подкоренное выражение неотрицательно: \( x^2 - 4x - 12 \ge 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 4x - 12 = 0 \): \( x_1 = 6, x_2 = -2 \). Решение: \( x \in (-\infty; -2] \cup [6; +\infty) \). 2) Знаменатель не равен нулю: \( 2x - 18 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9 \). Исключаем точку 9 из найденных промежутков. Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [6; 9) \cup (9; +\infty) \)