Решение задач на подобие треугольников: Вариант А2

Вариант А2 Задача 1 Дано: Треугольник 1: прямоугольный, один острый угол \( \alpha_1 = 22^\circ \). Треугольник 2: прямоугольный, один острый угол \( \alpha_2 = 68^\circ \). Подобны ли треугольники? Решение: 1. В первом прямоугольном треугольнике второй острый угол равен: \[ \beta_1 = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \] 2. Таким образом, углы первого треугольника равны \( 90^\circ \), \( 22^\circ \) и \( 68^\circ \). 3. Во втором прямоугольном треугольнике второй острый угол равен: \[ \beta_2 = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \] 4. Углы второго треугольника также равны \( 90^\circ \), \( 68^\circ \) и \( 22^\circ \). 5. Треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам), так как их углы соответственно равны. Ответ: Да, подобны. Задача 2 Дано: \( S_1 : S_2 = 9 : 1 \) Стороны первого треугольника: \( a_1 = 12 \) м, \( b_1 = 21 \) м, \( c_1 = 27 \) м. Найти: \( a_2, b_2, c_2 \). Решение: 1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \( k^2 \): \[ k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{1} \Rightarrow k = \sqrt{9} = 3 \] 2. Стороны первого треугольника в \( k \) раз больше соответствующих сторон второго треугольника: \[ a_2 = \frac{a_1}{k} = \frac{12}{3} = 4 \text{ (м)} \] \[ b_2 = \frac{b_1}{k} = \frac{21}{3} = 7 \text{ (м)} \] \[ c_2 = \frac{c_1}{k} = \frac{27}{3} = 9 \text{ (м)} \] Ответ: 4 м, 7 м, 9 м. Задача 3 Дано: \( AO = 15 \) см, \( BO = 8 \) см, \( AC = 27 \) см, \( DO = 10 \) см. Доказать: \( ABCD \) — трапеция. Доказательство: 1. Найдем отрезок \( OC \): \[ OC = AC - AO = 27 - 15 = 12 \text{ (см)} \] 2. Рассмотрим треугольники \( BOC \) и \( DOA \). В них углы \( BOC \) и \( DOA \) равны как вертикальные. 3. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25 \] \[ \frac{DO}{BO} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25 \] Так как \( \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{BO} \), то стороны пропорциональны. 4. Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: \( \angle OBC = \angle ODA \). 6. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: \( BC \parallel AD \). 7. Так как две стороны четырехугольника параллельны, то \( ABCD \) — трапеция (по определению). Что и требовалось доказать.