Решение неравенств методом интервалов и квадратных

2 вариант Задание 1. Решите неравенство методом интервалов: \( (x + 4)(x - 2) < 0 \). Решение: 1) Найдем корни уравнения \( (x + 4)(x - 2) = 0 \): \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \). 2) Отметим точки на числовой прямой (точки выколотые, так как неравенство строгое). 3) Определим знаки на интервалах: На \( (-\infty; -4) \) знак "+", На \( (-4; 2) \) знак "-", На \( (2; +\infty) \) знак "+". Так как неравенство со знаком \( < \), выбираем интервал со знаком минус. Ответ: \( x \in (-4; 2) \). Задание 2. Решите квадратное неравенство: \( x^2 + 3x - 10 \ge 0 \). Решение: 1) Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \). 2) Ветви параболы направлены вверх. Неравенство \( \ge 0 \), значит берем края. Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [2; +\infty) \). Задание 3. Решите дробно-рациональное неравенство: \( \frac{x + 3}{x - 1} \le 0 \). Решение: 1) Нуль числителя: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \). 2) Нуль знаменателя: \( x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \). 3) Отметим точки на прямой: \( -3 \) (закрашенная), \( 1 \) (выколотая). 4) Методом интервалов получаем знаки: \( + \), \( - \), \( + \). Нам нужен интервал со знаком \( - \). Ответ: \( x \in [-3; 1) \). Задание 4. Найдите область определения функции: \( y = \sqrt{(x + 2)(x - 6)} \). Решение: Область определения задается условием: \( (x + 2)(x - 6) \ge 0 \). 1) Корни: \( x = -2 \) и \( x = 6 \). 2) Расставим знаки на интервалах: \( + \), \( - \), \( + \). 3) Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Ответ: \( D(y) = (-\infty; -2] \cup [6; +\infty) \). Задание 5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство \( x^2 - 2x - 8 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \): \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \). Решение: \( x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) \). 2) Решим второе неравенство: \( x < 1 \). 3) Найдем пересечение решений: Числа меньше \( 1 \) и входящие в объединение из первого пункта. Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \). Задание 6. Решите неравенство: \( (x - 1)^2(x + 3) > 0 \). Решение: 1) Корни: \( x = 1 \) (кратности 2) и \( x = -3 \). 2) При переходе через \( x = 1 \) знак не меняется, так как степень четная. 3) Знаки на интервалах: На \( (-\infty; -3) \) знак "-", На \( (-3; 1) \) знак "+", На \( (1; +\infty) \) знак "+". Так как неравенство строгое, точка \( 1 \) исключается. Ответ: \( x \in (-3; 1) \cup (1; +\infty) \). Задание 7. Решите дробно-рациональное неравенство: \( \frac{x^2 - 16}{x^2 - 1} \ge 0 \). Решение: Разложим на множители: \( \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \). 1) Нули числителя: \( x = 4, x = -4 \) (закрашенные). 2) Нули знаменателя: \( x = 1, x = -1 \) (выколотые). 3) Отметим все точки на прямой и определим знаки: \( + \) на \( (-\infty; -4] \), \( - \) на \( [-4; -1) \), \( + \) на \( (-1; 1) \), \( - \) на \( (1; 4] \), \( + \) на \( [4; +\infty) \). Нам нужны интервалы со знаком \( + \). Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup (-1; 1) \cup [4; +\infty) \).