Решение уравнений из Части 1

Ниже представлены решения задач из Части 1, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение \(\log_{7}(2x + 5) = 2\). По определению логарифма: \[2x + 5 = 7^2\] \[2x + 5 = 49\] \[2x = 49 - 5\] \[2x = 44\] \[x = 22\] Ответ: 22. Задание 2. Решите уравнение \(5^{2x+4} = \frac{1}{125}\). Представим правую часть как степень с основанием 5: \[\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}\] Уравнение примет вид: \[5^{2x+4} = 5^{-3}\] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[2x + 4 = -3\] \[2x = -3 - 4\] \[2x = -7\] \[x = -3,5\] Ответ: -3,5. Задание 3. Решите уравнение \(\log_{5}(4x + 9) = 1 + \log_{5}(9 - x)\). Представим единицу как \(\log_{5}5\): \[\log_{5}(4x + 9) = \log_{5}5 + \log_{5}(9 - x)\] Используем свойство суммы логарифмов: \[\log_{5}(4x + 9) = \log_{5}(5 \cdot (9 - x))\] \[4x + 9 = 45 - 5x\] \[4x + 5x = 45 - 9\] \[9x = 36\] \[x = 4\] Проверка ОДЗ: \(4 \cdot 4 + 9 > 0\) и \(9 - 4 > 0\) — верно. Ответ: 4. Задание 4. Решите уравнение \(27^{4x+1} = 9^x\). Приведем обе части к основанию 3: \[(3^3)^{4x+1} = (3^2)^x\] \[3^{3(4x+1)} = 3^{2x}\] Приравниваем показатели: \[12x + 3 = 2x\] \[12x - 2x = -3\] \[10x = -3\] \[x = -0,3\] Ответ: -0,3. Задание 5. Найдите решение неравенства \(\log_{3}(6x + 3) < 2\log_{9}(5 - x)\). 1. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 6x + 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -0,5 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-0,5; 5)\] 2. Преобразуем правую часть, используя свойство \(\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b\): \[2\log_{9}(5 - x) = 2\log_{3^2}(5 - x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}(5 - x) = \log_{3}(5 - x)\] 3. Решим неравенство: \[\log_{3}(6x + 3) < \log_{3}(5 - x)\] Так как основание \(3 > 1\), знак неравенства сохраняется: \[6x + 3 < 5 - x\] \[7x < 2\] \[x < \frac{2}{7}\] 4. С учетом ОДЗ: \[-0,5 < x < \frac{2}{7}\] Это соответствует варианту номер 3. Ответ: 3.