Решение уравнения: 6/(x^2-1) + 3/(x+1) = (x+1)/(x-1)

На фотографии изображено алгебраическое уравнение. Ниже представлено его пошаговое решение, оформленное для записи в тетрадь. Задание: Решить уравнение \[ \frac{6}{x^2 - 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \] Решение: 1. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{3}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \] 2. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: \[ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \] \[ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \] ОДЗ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \). 3. Приведем дроби к общему знаменателю \( (x - 1)(x + 1) \). Для этого вторую дробь умножим на \( (x - 1) \), а правую часть уравнения на \( (x + 1) \): \[ \frac{6 + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \] 4. Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), приравняем числители: \[ 6 + 3(x - 1) = (x + 1)^2 \] 5. Раскроем скобки: \[ 6 + 3x - 3 = x^2 + 2x + 1 \] \[ 3x + 3 = x^2 + 2x + 1 \] 6. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] 7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ \sqrt{D} = 3 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] 8. Проверим корни по ОДЗ: Корень \( x_1 = 2 \) подходит. Корень \( x_2 = -1 \) не подходит, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Ответ: \( x = 2 \).