Решение неравенства (0.25 * 4^x)^x < 2^(12x - 20)

Ниже представлено подробное решение задач с изображения, оформленное для переписывания в тетрадь. Задание 6 Решите неравенство: \[ (0,25 \cdot 4^x)^x < 2^{12x - 20} \] Решение: 1. Преобразуем выражение в скобках. Заметим, что \( 0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} \). \[ (4^{-1} \cdot 4^x)^x < (2^2)^{\frac{12x - 20}{2}} \Rightarrow (4^{x-1})^x < 4^{6x - 10} \] 2. Применим свойство степени \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \): \[ 4^{x^2 - x} < 4^{6x - 10} \] 3. Так как основание \( 4 > 1 \), функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: \[ x^2 - x < 6x - 10 \] \[ x^2 - 7x + 10 < 0 \] 4. Найдем корни уравнения \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) по теореме Виета: \[ x_1 = 2, x_2 = 5 \] 5. Решением неравенства является интервал: \[ x \in (2; 5) \] 6. Наименьшее целое решение в этом интервале — это число 3. Ответ: 3. Задание 7 Решите неравенство: \[ 4^{-x + 0,5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 \le 0 \] Решение: 1. Преобразуем первый член: \( 4^{-x + 0,5} = 4^{0,5} \cdot 4^{-x} = \sqrt{4} \cdot (2^2)^{-x} = 2 \cdot 2^{-2x} \). 2. Пусть \( 2^{-x} = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное неравенство: \[ 2t^2 - 7t - 4 \le 0 \] 3. Найдем корни уравнения \( 2t^2 - 7t - 4 = 0 \): \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 \] \[ t_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4; \quad t_2 = \frac{7 - 9}{4} = -0,5 \] 4. С учетом \( t > 0 \), решение для \( t \): \( 0 < t \le 4 \). 5. Возвращаемся к замене: \[ 2^{-x} \le 4 \Rightarrow 2^{-x} \le 2^2 \Rightarrow -x \le 2 \Rightarrow x \ge -2 \] 6. Найдем количество целых решений на отрезке \( [-20; 20] \). Условию \( x \ge -2 \) удовлетворяют целые числа: \( -2, -1, 0, 1, \dots, 20 \). 7. Количество чисел: \( 20 - (-2) + 1 = 23 \). Ответ: 23. Задание 8 Решите неравенство: \[ \frac{2x^2 - 5x + 2}{\log_{11}(x + 5)} \le 0 \] Решение: 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \[ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ \log_{11}(x + 5) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x + 5 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x \neq -4 \end{cases} \] 2. Найдем нули числителя: \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). \[ D = 25 - 16 = 9 \] \[ x_1 = \frac{5+3}{4} = 2; \quad x_2 = \frac{5-3}{4} = 0,5 \] 3. Найдем знак знаменателя. \( \log_{11}(x + 5) > 0 \), если \( x + 5 > 1 \), т.е. \( x > -4 \). 4. Применим метод интервалов на ОДЗ: - На интервале \( (-5; -4) \): знаменатель \( < 0 \), числитель \( > 0 \). Дробь \( < 0 \). (Подходит) - На интервале \( (-4; 0,5] \): знаменатель \( > 0 \), числитель \( \ge 0 \). Дробь \( \ge 0 \). (Только точка 0,5) - На интервале \( [0,5; 2] \): знаменатель \( > 0 \), числитель \( \le 0 \). Дробь \( \le 0 \). (Подходит) - На интервале \( [2; +\infty) \): знаменатель \( > 0 \), числитель \( \ge 0 \). Дробь \( \ge 0 \). (Только точка 2) Объединяя результаты: \( x \in (-5; -4) \cup [0,5; 2] \). Ответ: \( (-5; -4) \cup [0,5; 2] \).