Решение задачи №424: Площадь прямоугольного треугольника

Задача №424 Дано: Треугольник — прямоугольный Периметр \( P = 84 \) см Гипотенуза \( c = 37 \) см Найти: Площадь \( S \) — ? Решение: 1. Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \[ P = a + b + c \] Подставим известные значения: \[ 84 = a + b + 37 \] Отсюда сумма катетов: \[ a + b = 84 - 37 \] \[ a + b = 47 \] 2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + b^2 = 37^2 \] \[ a^2 + b^2 = 1369 \] 3. Воспользуемся формулой квадрата суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Мы знаем, что \( a + b = 47 \) и \( a^2 + b^2 = 1369 \). Подставим эти значения в формулу: \[ 47^2 = 1369 + 2ab \] \[ 2209 = 1369 + 2ab \] 4. Найдем произведение катетов \( ab \): \[ 2ab = 2209 - 1369 \] \[ 2ab = 840 \] \[ ab = 420 \] 5. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \] Подставим найденное значение \( ab \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 420 \] \[ S = 210 \text{ см}^2 \] Ответ: 210 \( \text{см}^2 \).