Решение задач: логарифмы и показательные уравнения

Ниже представлено решение задач с первого листа, оформленное для переписывания в тетрадь. Задание 1 Решите уравнение: \[ \log_{7}(2x + 5) = 2 \] Решение: 1. По определению логарифма: \[ 2x + 5 = 7^2 \] \[ 2x + 5 = 49 \] 2. Перенесем 5 в правую часть: \[ 2x = 49 - 5 \] \[ 2x = 44 \] \[ x = 22 \] Проверка: \( 2 \cdot 22 + 5 = 49 > 0 \), условие существования логарифма соблюдено. Ответ: 22. Задание 2 Решите уравнение: \[ 5^{2x + 4} = \frac{1}{125} \] Решение: 1. Представим правую часть как степень с основанием 5: \[ \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} \] 2. Уравнение примет вид: \[ 5^{2x + 4} = 5^{-3} \] 3. Приравняем показатели степеней: \[ 2x + 4 = -3 \] \[ 2x = -7 \] \[ x = -3,5 \] Ответ: -3,5. Задание 3 Решите уравнение: \[ \log_{5}(4x + 9) = 1 + \log_{5}(9 - x) \] Решение: 1. ОДЗ: \[ \begin{cases} 4x + 9 > 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2,25 \\ x < 9 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2,25; 9) \] 2. Представим 1 как \( \log_{5}5 \): \[ \log_{5}(4x + 9) = \log_{5}5 + \log_{5}(9 - x) \] 3. Используем свойство суммы логарифмов: \[ \log_{5}(4x + 9) = \log_{5}(5 \cdot (9 - x)) \] 4. Приравняем аргументы: \[ 4x + 9 = 45 - 5x \] \[ 9x = 36 \] \[ x = 4 \] Число 4 входит в ОДЗ. Ответ: 4. Задание 4 Решите уравнение: \[ 27^{4x + 1} = 9^x \] Решение: 1. Приведем обе части к основанию 3: \[ (3^3)^{4x + 1} = (3^2)^x \] 2. Раскроем скобки в показателях: \[ 3^{12x + 3} = 3^{2x} \] 3. Приравняем показатели: \[ 12x + 3 = 2x \] \[ 10x = -3 \] \[ x = -0,3 \] Ответ: -0,3. Задание 5 Найдите решение неравенства: \[ \log_{3}(6x + 3) < 2\log_{9}(5 - x) \] Решение: 1. ОДЗ: \[ \begin{cases} 6x + 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -0,5 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-0,5; 5) \] 2. Преобразуем правую часть, используя свойство \( \log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b \): \[ 2\log_{9}(5 - x) = 2\log_{3^2}(5 - x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}(5 - x) = \log_{3}(5 - x) \] 3. Неравенство примет вид: \[ \log_{3}(6x + 3) < \log_{3}(5 - x) \] 4. Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастает: \[ 6x + 3 < 5 - x \] \[ 7x < 2 \] \[ x < \frac{2}{7} \] 5. С учетом ОДЗ: \[ -0,5 < x < \frac{2}{7} \] Это соответствует варианту под номером 3. Ответ: 3.