Решение задач по геометрии: расстояние и середина отрезка - Вариант 4

Вариант 4 Задание 1. Чему равно расстояние между точками \(P(5; -2)\) и \(K(3; -4)\)? Решение: Расстояние между точками \(P(x_1; y_1)\) и \(K(x_2; y_2)\) вычисляется по формуле: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставим координаты точек: \[PK = \sqrt{(3 - 5)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Ответ: 2) \(2\sqrt{2}\). Задание 2. Какая из приведенных точек является серединой отрезка, соединяющего точки \(M(-12; 1)\) и \(N(6; -5)\)? Решение: Координаты середины отрезка \((x_0; y_0)\) вычисляются по формулам: \[x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}\] Подставим значения: \[x_0 = \frac{-12 + 6}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] \[y_0 = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Точка имеет координаты \((-3; -2)\). Ответ: 3) \(C(-3; -2)\). Задание 3. Определите, лежат ли точки \(A(-1; 7)\), \(B(3; -1)\) и \(C(2; 1)\) на одной прямой. Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\): \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\] \[\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 7}{-1 - 7} \Rightarrow \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 7}{-8}\] Умножим обе части на 4: \[x + 1 = \frac{y - 7}{-2} \Rightarrow -2(x + 1) = y - 7 \Rightarrow -2x - 2 = y - 7 \Rightarrow y = -2x + 5\] Проверим, принадлежит ли точка \(C(2; 1)\) этой прямой, подставив её координаты: \[1 = -2 \cdot 2 + 5 \Rightarrow 1 = -4 + 5 \Rightarrow 1 = 1\] Равенство верно, значит точки лежат на одной прямой. Чтобы узнать, какая точка лежит между другими, вычислим расстояния: \[AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\] \[AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] \[CB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\] Так как \(AC + CB = 3\sqrt{5} + \sqrt{5} = 4\sqrt{5} = AB\), то точка \(C\) лежит между точками \(A\) и \(B\). Ответ: Да, лежат; точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\). Задание 4. Определите вид четырехугольника \(ABCD\) и вычислите его площадь. Решение: По рисунку определим координаты вершин: \(A(-2; -1)\), \(B(-3; 3)\), \(C(1; 2)\), \(D(2; -2)\). Найдем длины сторон: \[AB = \sqrt{(-3 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}\] \[CD = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}\] \[BC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}\] \[AD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}\] Все стороны равны. Проверим диагонали: \[AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[BD = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Так как стороны равны, а диагонали нет — это ромб. Площадь ромба через диагонали: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{900} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\] Ответ: Ромб, площадь равна 15.