Решение задачи: Вписанный угол и дуги окружности

Ниже представлены решения задач из вашего письменного опроса по геометрии для 9 класса. Задание 1 Условие: Окружность разделена на две дуги, причем градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Найдите градусную меру вписанного угла, соответствующего меньшей дуге. Решение: 1) Пусть градусная мера меньшей дуги равна \(x\), тогда градусная мера большей дуги равна \(3x\). 2) Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет \(360^\circ\). Составим уравнение: \[x + 3x = 360^\circ\] \[4x = 360^\circ\] \[x = 90^\circ\] Значит, меньшая дуга равна \(90^\circ\). 3) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. В задаче спрашивается про угол, соответствующий меньшей дуге (то есть опирающийся на нее). \[\angle = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\] Ответ: 45. Задание 2 Условие: В окружности вписанный угол ABC равен 28 градусов. Найдите градусную меру центрального угла, опирающегося на хорду AC. Решение: 1) Вписанный угол \(ABC\) опирается на дугу \(AC\). По свойству вписанного угла, дуга в два раза больше самого угла: \[\cup AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ\] 2) Центральный угол, опирающийся на ту же хорду \(AC\) (и ту же дугу), равен градусной мере этой дуги. \[\angle AOC = \cup AC = 56^\circ\] Ответ: 56. Задание 3А Условие: К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите диаметр окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см. Решение: 1) Касательная \(AB\) перпендикулярна радиусу \(OB\), проведенному в точку касания. Следовательно, треугольник \(ABO\) — прямоугольный (\(\angle ABO = 90^\circ\)). 2) По теореме Пифагора найдем радиус \(OB\): \[OB^2 + AB^2 = AO^2\] \[OB^2 + 12^2 = 13^2\] \[OB^2 + 144 = 169\] \[OB^2 = 169 - 144 = 25\] \[OB = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] 3) Диаметр окружности \(D\) в два раза больше радиуса: \[D = 2 \cdot OB = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}\] Ответ: 10. Задание 3Б Условие: К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите тангенс угла AOB, если AB = 12 см, AO = 13 см. Решение: 1) Как было установлено в предыдущей задаче, треугольник \(ABO\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\). Радиус \(OB = 5\) см. 2) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла \(AOB\) противолежащим катетом является \(AB\), а прилежащим — \(OB\). \[\text{tg} \angle AOB = \frac{AB}{OB}\] \[\text{tg} \angle AOB = \frac{12}{5} = 2,4\] Ответ: 2,4.