Решение задачи: Подобие треугольников, Вариант 2

Самостоятельная работа по теме "Подобие треугольников" Вариант 2 Задача 1. Дано: \(MK \parallel AC\), \(BM = 6\), \(BK = 9\), \(KC = 2\). Найти \(AM\). Решение: Так как \(MK \parallel AC\), то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников \(MBK\) и \(ABC\)): \[ \frac{BM}{AM} = \frac{BK}{KC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{6}{AM} = \frac{9}{2} \] Отсюда: \[ AM = \frac{6 \cdot 2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \] Однако, если рассматривать подобие треугольников \(\triangle MBK \sim \triangle ABC\), то: \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} \] \[ \frac{6}{6 + AM} = \frac{9}{9 + 2} \] \[ \frac{6}{6 + AM} = \frac{9}{11} \] \[ 9 \cdot (6 + AM) = 6 \cdot 11 \] \[ 54 + 9 \cdot AM = 66 \] \[ 9 \cdot AM = 12 \] \[ AM = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \] Вероятно, в условии опечатка в числах. Если предположить, что \(KC = 3\), то \(AM = 2\). Если \(BK = 12\), \(KC = 4\), \(BM = 6\), то \(AM = 2\). Среди вариантов ответа наиболее близкий по логике целых чисел при других данных — вариант в) 2. Но при текущих данных \(AM = 1,33\). Перепроверим: если \(AM = 2\), то \(6/2 = 9/3\). Скорее всего, \(KC\) должно быть равно 3. Ответ: в) 2 (при условии исправления опечатки в условии). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), \(AB = 16\) см, \(A_1B_1 = 8\) см, \(AC = 10\) см, \(BC = 14\) см. Найти \(P_{A_1B_1C_1}\). Решение: Найдем коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{8}{16} = 0,5 \] Периметр треугольника \(ABC\): \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 16 + 14 + 10 = 40 \text{ см} \] Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ P_{A_1B_1C_1} = k \cdot P_{ABC} = 0,5 \cdot 40 = 20 \text{ см} \] Ответ: б) 20 см. Задача 3. По данным на рисунке 2 найти \(k\). Решение: На рисунке два прямоугольных треугольника с общим острым углом, значит они подобны. Из подобия следует отношение соответствующих сторон: \[ \frac{k}{10} = \frac{12}{12 + 8} \] \[ \frac{k}{10} = \frac{12}{20} \] \[ k = \frac{10 \cdot 12}{20} = \frac{120}{20} = 6 \] Ответ: в) 6. Задача 4. Дано: \(BC = 3,5\) см, \(AD = 10,5\) см, \(AC = 12\) см. Найти \(AO\). Решение: Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны по двум углам (углы при вершине \(O\) вертикальные, накрест лежащие углы при параллельных основаниях равны). Пусть \(AO = x\), тогда \(OC = AC - AO = 12 - x\). Из подобия: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO} \] \[ \frac{3,5}{10,5} = \frac{12 - x}{x} \] Заметим, что \(10,5 / 3,5 = 3\), значит: \[ \frac{1}{3} = \frac{12 - x}{x} \] \[ x = 3 \cdot (12 - x) \] \[ x = 36 - 3x \] \[ 4x = 36 \] \[ x = 9 \] \(AO = 9\) см. Ответ: б) 9 см. Задача 5. Дано: \(\angle BFG = \angle BAC\), \(FG = 15\) см, \(BG = 9\) см, \(GC = 6\) см, \(FA = 8\) см. Найти \(P_{ABC}\). Решение: Так как \(\angle BFG = \angle BAC\), а угол \(B\) общий, то \(\triangle BFG \sim \triangle BAC\). Найдем коэффициент подобия: \[ BC = BG + GC = 9 + 6 = 15 \text{ см} \] \[ k = \frac{BC}{BG} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \] Найдем стороны \(AB\) и \(AC\): \[ \frac{AB}{BF} = k \Rightarrow AB = \frac{5}{3} \cdot BF \] Пусть \(BF = y\), тогда \(AB = y + 8\). \[ y + 8 = \frac{5}{3}y \] \[ 8 = \frac{2}{3}y \Rightarrow y = 12 \text{ см} (BF) \] \[ AB = 12 + 8 = 20 \text{ см} \] Сторона \(AC\): \[ \frac{AC}{FG} = k \Rightarrow AC = \frac{5}{3} \cdot 15 = 25 \text{ см} \] Периметр \(ABC\): \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 20 + 15 + 25 = 60 \text{ см} \] Ответ: а) 60 см.