Решение задачи: параллелограмм и биссектриса

Вариант 1. Задача 1. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(AK\) — биссектриса \(\angle A\); \(K \in BC\); \(BK = 12\), \(CK = 16\). Найти: \(P_{ABCD}\). Решение: 1) Сторона \(BC = BK + CK = 12 + 16 = 28\). Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(AD = BC = 28\). 2) Рассмотрим \(\angle BAK\) и \(\angle KAD\). Так как \(AK\) — биссектриса, то \(\angle BAK = \angle KAD\). 3) \(\angle KAD = \angle BKA\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AK\). 4) Из пунктов 2 и 3 следует, что \(\angle BAK = \angle BKA\). Значит, треугольник \(ABK\) — равнобедренный с основанием \(AK\). 5) Следовательно, \(AB = BK = 12\). Тогда \(CD = AB = 12\). 6) Периметр параллелограмма: \[P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (12 + 28) = 2 \cdot 40 = 80.\] Ответ: 80. Задача 2. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(CD = 2 \cdot BC\); \(N\) — середина \(CD\). Доказать: \(BN\) — биссектриса \(\angle ABC\). Доказательство: 1) Так как \(N\) — середина \(CD\), то \(CN = \frac{1}{2} CD\). 2) По условию \(CD = 2 \cdot BC\), значит \(BC = \frac{1}{2} CD\). 3) Из пунктов 1 и 2 следует, что \(CN = BC\). 4) Треугольник \(BCN\) — равнобедренный (\(BC = CN\)), значит углы при основании равны: \(\angle CBN = \angle CNB\). 5) Так как \(AB \parallel CD\), то \(\angle ABN = \angle CNB\) как накрест лежащие при секущей \(BN\). 6) Получаем, что \(\angle CBN = \angle ABN\). Это означает, что \(BN\) — биссектриса угла \(ABC\). Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: \(ABCD\) — ромб; \(O\) — точка пересечения диагоналей; \(OH \perp AB\), \(OH = 10\); \(AC = 40\). Найти: углы ромба. Решение: 1) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит \(AO = \frac{1}{2} AC = \frac{40}{2} = 20\). 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). В нем катет \(OH = 10\), а гипотенуза \(AO = 20\). 3) Так как катет в два раза меньше гипотенузы (\(10 = \frac{20}{2}\)), то угол, лежащий против этого катета, равен \(30^\circ\). Значит, \(\angle OAH = 30^\circ\). 4) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, \(\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 5) Сумма соседних углов ромба равна \(180^\circ\). Тогда \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Ответ: \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\). Задача 4. Дано: \(a = 7\), \(b = 12\); \(\alpha = 30^\circ\). Найти: \(S\). Решение: Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] \[S = 7 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ) = 84 \cdot \frac{1}{2} = 42.\] Ответ: 42. Задача 5. Решение: Площадь треугольника на клетчатой бумаге можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] где \(a\) — основание, \(h\) — высота. 1) По рисунку считаем клетки: основание треугольника \(a = 6\) клеток. 2) Высота, проведенная к этому основанию, \(h = 3\) клетки. 3) Вычисляем площадь: \[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9.\] Ответ: 9.