Решение контрольной работы по геометрии. Вариант 1

Контрольная работа Вариант I Задача 1. Дано: \(S = 84 \text{ см}^2\) \(a = 8 \text{ см}\) Найти: \(h_a\) Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] Выразим высоту \(h_a\): \[h_a = \frac{2S}{a}\] Подставим значения: \[h_a = \frac{2 \cdot 84}{8} = \frac{168}{8} = 21 \text{ (см)}\] Ответ: 21 см. Задача 2. Дано: \(ABCD\) — ромб \(P = 32 \text{ см}\) \(\angle B = 30^\circ\) \(AH\) — высота Найти: \(S\) Решение: 1) У ромба все стороны равны, поэтому сторона \(a\) равна: \[a = \frac{P}{4} = \frac{32}{4} = 8 \text{ (см)}\] Значит, \(AB = BC = 8 \text{ см}\). 2) Рассмотрим треугольник \(ABH\). Он прямоугольный (\(\angle AHB = 90^\circ\)). По условию \(\angle B = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ (см)}\] 3) Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \[S = BC \cdot AH = 8 \cdot 4 = 32 \text{ (см}^2)\] Ответ: 32 \(\text{см}^2\). Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)) \(BC = 5 \text{ см}\) \(AC = 6 \text{ см}\) \(BH\) — высота Найти: \(S\) Решение: 1) Так как треугольник равнобедренный, высота \(BH\), проведенная к основанию \(AC\), является также медианой. Следовательно: \[AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ (см)}\] 2) Из прямоугольного треугольника \(BHC\) (\(\angle BHC = 90^\circ\)) по теореме Пифагора найдем высоту \(BH\): \[BH^2 + HC^2 = BC^2\] \[BH^2 = BC^2 - HC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\] \[BH = \sqrt{16} = 4 \text{ (см)}\] 3) Найдем площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ (см}^2)\] Ответ: 12 \(\text{см}^2\).