Решение системы уравнений: определение количества решений

Задание: Выясните, имеет ли система решения и сколько. Для решения приведем каждое уравнение к стандартному виду \( ax + by = c \) и проанализируем отношения коэффициентов. Если отношения коэффициентов при \( x \) и \( y \) не равны, система имеет 1 решение. Если все три отношения равны, решений бесконечно много. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены нет — решений нет. а) \[ \begin{cases} 2x - 6y = 10 \\ 8y = 7 - 2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x - 6y = 10 \\ 2x + 8y = 7 \end{cases} \] Проверим отношения коэффициентов: \[ \frac{2}{2} \neq \frac{-6}{8} \] Так как \( 1 \neq -0,75 \), система имеет одно решение. б) \[ \begin{cases} 3x - 12 = 8y \\ 1,5x - 4y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 8y = 12 \\ 1,5x - 4y = 6 \end{cases} \] Проверим отношения: \[ \frac{3}{1,5} = 2; \quad \frac{-8}{-4} = 2; \quad \frac{12}{6} = 2 \] Так как \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), система имеет бесконечно много решений. в) \[ \begin{cases} y = 4x \\ x - 8 = -6y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -4x + y = 0 \\ x + 6y = 8 \end{cases} \] Проверим отношения: \[ \frac{-4}{1} \neq \frac{1}{6} \] Система имеет одно решение. г) \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \] Проверим отношения: \[ \frac{1}{3} \neq \frac{1}{-2} \] Система имеет одно решение. д) \[ \begin{cases} 3 - 3y = 4x \\ -8x = 6y - 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x + 3y = 3 \\ -8x - 6y = -6 \end{cases} \] Проверим отношения: \[ \frac{4}{-8} = -0,5; \quad \frac{3}{-6} = -0,5; \quad \frac{3}{-6} = -0,5 \] Так как отношения всех коэффициентов равны, система имеет бесконечно много решений. е) \[ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + 4y = 5 \\ x - y = -3 \end{cases} \] Проверим отношения: \[ \frac{1}{1} \neq \frac{4}{-1} \] Система имеет одно решение.