Решение контрольной работы: Арифметический корень и иррациональности

Контрольная работа по теме: «Арифметический корень n-ой степени. Иррациональные уравнения и неравенства» Вариант I 1. Найти область определения функции \( y = \sqrt[4]{4 - x^2} \). Решение: Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 4 - x^2 \ge 0 \] \[ (2 - x)(2 + x) \ge 0 \] Решим методом интервалов. Корни выражения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). Нанесем их на числовую прямую и определим знаки. Выражение положительно на отрезке \( [-2; 2] \). Ответ: \( D(y) = [-2; 2] \). 2. Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение \( \sqrt{x} = 6 - x^2 \). Решение: Построим в одной системе координат графики функций \( f(x) = \sqrt{x} \) и \( g(x) = 6 - x^2 \). 1) График \( f(x) = \sqrt{x} \) — это ветвь параболы, направленная вправо, выходящая из начала координат \( (0;0) \). Проходит через точки \( (1;1), (4;2) \). 2) График \( g(x) = 6 - x^2 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке \( (0;6) \). Проходит через точки \( (1;5), (2;2) \). При \( x < 0 \) функция \( \sqrt{x} \) не определена. При \( x \ge 0 \) графики пересекаются в одной точке (в районе \( x \approx 2 \)). Ответ: уравнение имеет 1 корень. 3. Решить уравнение: 1) \( \sqrt{1 - x} = 3 \) Возведем обе части в квадрат: \[ 1 - x = 9 \] \[ -x = 8 \] \[ x = -8 \] Проверка: \( \sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{9} = 3 \). Верно. Ответ: -8. 2) \( \sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x} \) Возведем в квадрат: \[ x + 2 = 3 - x \] \[ 2x = 1 \] \[ x = 0,5 \] Проверка: \( \sqrt{0,5 + 2} = \sqrt{2,5} \); \( \sqrt{3 - 0,5} = \sqrt{2,5} \). Верно. Ответ: 0,5. 3) \( \sqrt{1 - x} = x + 1 \) Возведем в квадрат при условии \( x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \): \[ 1 - x = (x + 1)^2 \] \[ 1 - x = x^2 + 2x + 1 \] \[ x^2 + 3x = 0 \] \[ x(x + 3) = 0 \] Получаем корни \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \). Проверим условие \( x \ge -1 \): корень \( x_2 = -3 \) не подходит. Ответ: 0. 4) \( \sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1 \) Перенесем один корень: \( \sqrt{2x + 5} = 1 + \sqrt{x + 6} \). Возведем в квадрат: \[ 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{x + 6} + x + 6 \] \[ x - 2 = 2\sqrt{x + 6} \] Возведем еще раз в квадрат при условии \( x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \): \[ (x - 2)^2 = 4(x + 6) \] \[ x^2 - 4x + 4 = 4x + 24 \] \[ x^2 - 8x - 20 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 10, x_2 = -2 \). Условию \( x \ge 2 \) удовлетворяет только \( x = 10 \). Ответ: 10. 4. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \end{cases} \] Преобразуем второе уравнение: \( \sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 30 \). Подставим значение из первого уравнения: \[ \sqrt{xy} \cdot 5 = 30 \] \[ \sqrt{xy} = 6 \Rightarrow xy = 36 \] Пусть \( \sqrt{x} = a, \sqrt{y} = b \). Тогда \( a + b = 5 \) и \( ab = 6 \). По теореме Виета для квадратного уравнения \( t^2 - 5t + 6 = 0 \), корни \( t_1 = 2, t_2 = 3 \). Значит, либо \( \sqrt{x} = 2, \sqrt{y} = 3 \), либо \( \sqrt{x} = 3, \sqrt{y} = 2 \). Получаем пары \( (4; 9) \) и \( (9; 4) \). Ответ: (4; 9), (9; 4).