Решение контрольной работы №3. Вариант 4. Квадратные уравнения

Контрольная работа №3 Вариант 4 1. Решить уравнения: а) \(x^2 - 4x + 3 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2}\] \[x_1 = \frac{6}{2} = 3; \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1\] Ответ: 1; 3. б) \(x^2 + x - 56 = 0\) \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2\] \[x_{1,2} = \frac{-1 \pm 15}{2}\] \[x_1 = \frac{14}{2} = 7; \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8\] Ответ: -8; 7. в) \(-x^2 + 6x + 55 = 0\) Умножим на -1: \(x^2 - 6x - 55 = 0\) \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256 = 16^2\] \[x_{1,2} = \frac{6 \pm 16}{2}\] \[x_1 = \frac{22}{2} = 11; \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5\] Ответ: -5; 11. 2. Решить неполные квадратные уравнения: а) \(5x^2 = 45\) \[x^2 = 9\] \[x = \pm 3\] Ответ: -3; 3. б) \(4x^2 - x = 0\) Вынесем x за скобки: \[x(4x - 1) = 0\] \[x_1 = 0 \text{ или } 4x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 0,25\] Ответ: 0; 0,25. в) \(x^2 = 3\) \[x = \pm \sqrt{3}\] Ответ: \(-\sqrt{3}; \sqrt{3}\). 3. Найти корни уравнения по теореме Виета: а) \(x^2 + 5x + 4 = 0\) По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -5\] \[x_1 \cdot x_2 = 4\] Подбором находим: \(x_1 = -4, x_2 = -1\). Ответ: -4; -1. б) \(x^2 + 2x - 8 = 0\) По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -2\] \[x_1 \cdot x_2 = -8\] Подбором находим: \(x_1 = -4, x_2 = 2\). Ответ: -4; 2. 4. Решить биквадратное уравнение: а) \(x^4 - 26x^2 + 25 = 0\) Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[t^2 - 26t + 25 = 0\] По теореме Виета: \(t_1 = 25, t_2 = 1\). Вернемся к x: 1) \(x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\) 2) \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\) Ответ: -5; -1; 1; 5. б) \(x^4 - 20x^2 + 64 = 0\) Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[t^2 - 20t + 64 = 0\] \[D = 400 - 256 = 144 = 12^2\] \[t_1 = \frac{20+12}{2} = 16; \quad t_2 = \frac{20-12}{2} = 4\] Вернемся к x: 1) \(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\) 2) \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\) Ответ: -4; -2; 2; 4. 5. Построить график функции (описание для тетради): а) \(y = 2(x - 1)^2\) Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина в точке (1; 0). Коэффициент 2 означает растяжение вдоль оси Oy. Точки для построения: (0; 2), (1; 0), (2; 2). б) \(y = (x + 3)^2 + 2\) Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина смещена влево на 3 и вверх на 2. Координаты вершины: (-3; 2). Точки для построения: (-4; 3), (-3; 2), (-2; 3). в) \(y = x^2 + 2x + 1\) Заметим, что это полный квадрат: \(y = (x + 1)^2\). Это стандартная парабола с вершиной в точке (-1; 0). Точки для построения: (-2; 1), (-1; 0), (0; 1).