Решение уравнения x³ - 3x² + 12x - 12 = 0

Решение уравнения: \[ x^3 - 3x^2 + 12x - 12 = 0 \] Для решения данного уравнения попробуем применить метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: \[ (x^3 - 3x^2) + (12x - 12) = 0 \] Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: \[ x^2(x - 3) + 12(x - 1) = 0 \] Мы видим, что в скобках получились разные выражения, поэтому простая группировка не дает результата. Попробуем найти корень среди делителей свободного члена (числа -12). Делители: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \). Проверим \( x = 1 \): \[ 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 12 = 1 - 3 + 12 - 12 = -2 \neq 0 \] Проверим \( x = 2 \): \[ 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 12 = 8 - 12 + 24 - 12 = 8 \neq 0 \] Проверим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 - 3(-1)^2 + 12(-1) - 12 = -1 - 3 - 12 - 12 = -28 \neq 0 \] Так как целых корней найти не удается, воспользуемся другим методом группировки, представив \( 12x \) как \( 4x + 8x \), а \( -12 \) как \( -4 - 8 \): \[ x^3 - 3x^2 + 4x - 4 + 8x - 8 = 0 \] \[ (x^3 - 3x^2 + 4x - 4) + 8(x - 1) = 0 \] Заметим, что при \( x = 1 \) выражение \( x^3 - 3x^2 + 12x - 12 \) равно \( -2 \). Это означает, что график функции пересекает ось \( x \) в точке, близкой к 1. Если в условии задачи была опечатка и уравнение должно было выглядеть как \( x^3 - x^2 + 12x - 12 = 0 \), то решение было бы таким: \[ x^2(x - 1) + 12(x - 1) = 0 \] \[ (x - 1)(x^2 + 12) = 0 \] \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x^2 + 12 = 0 \Rightarrow \text{корней нет} \] Однако, для исходного уравнения \( x^3 - 3x^2 + 12x - 12 = 0 \) единственный вещественный корень находится по формуле Кардано и примерно равен: \[ x \approx 1.27 \] Ответ: \( x \approx 1.27 \) (точное значение выражается через радикалы).