Решение задачи: Определение правильного многоугольника

Для решения этой задачи нужно вспомнить определение: правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Проанализируем каждое утверждение: 1. Треугольник, у которого все углы равны. Это утверждение верное. Если в треугольнике все углы равны (по \( 60^\circ \)), то по признаку равностороннего треугольника все его стороны также будут равны. Такой треугольник является правильным. 2. Ромб с равными диагоналями. Это утверждение верное. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Если у ромба диагонали равны, то он становится квадратом. Квадрат — это правильный четырехугольник (все стороны равны, все углы по \( 90^\circ \)). 3. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются под углом \( 60^\circ \). Это утверждение неверное. Это может быть произвольный четырехугольник, не обязательно обладающий равенством сторон или углов. 4. Прямоугольник, у которого одна из сторон равна половине диагонали. Это утверждение неверное. В таком прямоугольнике угол между диагональю и стороной будет равен \( 60^\circ \) или \( 30^\circ \). Это обычный прямоугольник со сторонами, относящимися как \( 1 : \sqrt{3} \), он не является квадратом (правильным многоугольником), так как его стороны не равны между собой. 5. Шестиугольник, у которого угол между двумя смежными сторонами равен \( 150^\circ \). Это утверждение неверное. У правильного шестиугольника каждый внутренний угол вычисляется по формуле: \[ \beta = \frac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n} = \frac{180^\circ \cdot (6 - 2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ \] Так как \( 150^\circ \neq 120^\circ \), данный шестиугольник не может быть правильным. Ответ для записи в тетрадь: Верные утверждения: 1. Треугольник, у которого все углы равны. 2. Ромб с равными диагоналями.