Решение задачи: правильный шестиугольник и углы

Для решения этой задачи рассмотрим свойства правильного шестиугольника \( ABCDEF \). Дано: Правильный шестиугольник \( ABCDEF \). Сторона \( ED = 7 \). Следовательно, все стороны равны 7: \( AB = BC = CD = DE = EF = FA = 7 \). Решение: 1. Найдем угол \( \alpha \). Сначала вычислим величину внутреннего угла правильного шестиугольника (например, угла \( \angle ABC \)): \[ \angle ABC = \frac{180^\circ \cdot (6 - 2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ \] Рассмотрим треугольник \( ABC \). Он равнобедренный, так как \( AB = BC = 7 \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Углы при основании \( AC \) равны: \[ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] Угол \( \alpha \) на рисунке — это и есть угол \( \angle BAC \). \[ \alpha = 30^\circ \] 2. Найдем \( x^2 \). Отрезок \( x \) — это диагональ \( AC \). Найдем её по теореме косинусов из треугольника \( ABC \): \[ x^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] Подставим значения: \[ x^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(120^\circ) \] Так как \( \cos(120^\circ) = -0.5 \): \[ x^2 = 49 + 49 - 2 \cdot 49 \cdot (-0.5) \] \[ x^2 = 49 + 49 + 49 \] \[ x^2 = 147 \] (Примечание: также можно использовать формулу малой диагонали правильного шестиугольника \( x = a\sqrt{3} \), тогда \( x^2 = (7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147 \)). Ответы для ввода: Угол \( \alpha \): 30 Значение \( x^2 \): 147