Решение задачи по линейной алгебре: Найти матрицу C = A - 2B

Ниже представлено решение задач из билета №1, оформленное для переписывания в тетрадь. Раздел ЛА (Линейная алгебра) Задача 1. Даны матрицы \( A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) и \( B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \). Найти матрицу \( C = A - 2B \). Решение: Сначала найдем матрицу \( 2B \): \[ 2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \] Теперь найдем разность матриц: \[ C = A - 2B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-4 & 3-4 \\ 0-2 & -1-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -2 & -9 \end{pmatrix} \] Ответ: \( C = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -2 & -9 \end{pmatrix} \). Задача 2. Дано \( A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \). Найти матрицу \( A \cdot B \). Решение: Умножаем строки первой матрицы на столбцы второй: \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot 7 + (-3)\cdot 4 & (-1)\cdot 5 + (-2)\cdot 3 + (-3)\cdot (-2) \\ 2\cdot 1 + 0\cdot 7 + 4\cdot 4 & 2\cdot 5 + 0\cdot 3 + 4\cdot (-2) \end{pmatrix} \] \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 - 14 - 12 & -5 - 6 + 6 \\ 2 + 0 + 16 & 10 + 0 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27 & -5 \\ 18 & 2 \end{pmatrix} \] Ответ: \( \begin{pmatrix} -27 & -5 \\ 18 & 2 \end{pmatrix} \). Задача 3. Вычислить определитель \( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 6 & -2 & 5 \\ 0 & 6 & 4 \end{vmatrix} \). Решение: Воспользуемся правилом треугольника: \[ \Delta = 1 \cdot (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot 5 \cdot 0 + 6 \cdot 6 \cdot 0 - (0 \cdot (-2) \cdot 0 + 6 \cdot (-2) \cdot 4 + 5 \cdot 6 \cdot 1) \] \[ \Delta = -8 + 0 + 0 - (0 - 48 + 30) = -8 - (-18) = -8 + 18 = 10 \] Ответ: 10. Раздел ВА (Векторный анализ) Задача 1. Дано \( \vec{a} = (-1; 1; 4) \), \( \vec{b} = (2; -2; 2) \). Найти длину вектора \( 2\vec{a} + \vec{b} \). Решение: 1) Найдем координаты вектора \( \vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b} \): \[ \vec{c} = 2 \cdot (-1; 1; 4) + (2; -2; 2) = (-2; 2; 8) + (2; -2; 2) = (0; 0; 10) \] 2) Найдем длину вектора \( \vec{c} \): \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 10^2} = \sqrt{100} = 10 \] Ответ: 10. Задача 2. Найти скалярное произведение векторов \( \vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k} \), \( \vec{b} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 6\vec{k} \). Решение: Координаты векторов: \( \vec{a} = (3; 2; 5) \), \( \vec{b} = (2; 3; -6) \). Скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-6) = 6 + 6 - 30 = -18 \] Ответ: -18. Задача 3. Найти объем пирамиды, построенной на векторах \( \vec{a} = (3; 5; -2) \), \( \vec{b} = (-1; 4; 2) \), \( \vec{c} = (2; 8; 2) \). Решение: Объем пирамиды равен \( V = \frac{1}{6} |(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| \), где в скобках смешанное произведение. \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 5 & -2 \\ -1 & 4 & 2 \\ 2 & 8 & 2 \end{vmatrix} = 3(8-16) - 5(-2-4) - 2(-8-8) = 3(-8) - 5(-6) - 2(-16) = -24 + 30 + 32 = 38 \] \[ V = \frac{1}{6} \cdot 38 = \frac{19}{3} \approx 6,33 \] Ответ: \( \frac{19}{3} \). Раздел АГ (Аналитическая геометрия) Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( M(5; -3) \) перпендикулярно прямой \( x - 6y + 2 = 0 \). Решение: У заданной прямой вектор нормали \( \vec{n} = (1; -6) \). Для искомой перпендикулярной прямой этот вектор будет направляющим. Уравнение прямой через точку \( M(x_0; y_0) \) с направляющим вектором \( (p; q) \): \[ \frac{x - x_0}{p} = \frac{y - y_0}{q} \Rightarrow \frac{x - 5}{1} = \frac{y + 3}{-6} \] \[ -6(x - 5) = y + 3 \Rightarrow -6x + 30 = y + 3 \Rightarrow 6x + y - 27 = 0 \] Ответ: \( 6x + y - 27 = 0 \). Задача 2. Составить уравнение прямой через точки \( A(-1; 2) \) и \( B(3; -4) \). Решение: Используем формулу \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \): \[ \frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 2}{-4 - 2} \Rightarrow \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{-6} \] \[ -6(x + 1) = 4(y - 2) \Rightarrow -6x - 6 = 4y - 8 \Rightarrow 6x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow 3x + 2y - 1 = 0 \] Ответ: \( 3x + 2y - 1 = 0 \). Задача 3. Найти радиус окружности \( x^2 + y^2 + 10y + 16 = 0 \). Решение: Выделим полный квадрат по \( y \): \[ x^2 + (y^2 + 10y + 25) - 25 + 16 = 0 \] \[ x^2 + (y + 5)^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + (y + 5)^2 = 9 \] Уравнение окружности имеет вид \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \). Следовательно, \( R^2 = 9 \), откуда \( R = 3 \). Ответ: 3.