Что такое характеристическое уравнение? Решение задачи

Для решения данного вопроса из теста по высшей математике, ниже представлен правильный ответ и краткое пояснение, которое можно переписать в тетрадь. Вопрос: Что называется характеристическим уравнением для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами? Правильный ответ: Алгебраическое уравнение, получаемое заменой производных степенями. Пояснение для тетради: Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами: \[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0 \] Для поиска частных решений в виде \( y = e^{kx} \) составляется характеристическое уравнение. Оно получается путем формальной замены производной \( y^{(m)} \) на переменную \( k \) в соответствующей степени \( k^m \): \[ a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k + a_0 = 0 \] Таким образом, характеристическое уравнение является обычным алгебраическим уравнением, корни которого позволяют определить вид общего решения дифференциального уравнения.