Решение задач №13-16, стр. 97

Ниже представлены решения задач со страницы 97 (задания 13–16), оформленные для записи в тетрадь. Задание 13 Чтобы определить, какое неравенство не имеет решений, нужно найти дискриминант квадратного трёхчлена. Для вариантов 1 и 2: \( x^2 + 6x - 51 \). \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51) = 36 + 204 = 240 \] Так как \( D > 0 \), у этого трёхчлена есть корни, значит, парабола пересекает ось \( Ox \), и решения есть у обоих неравенств. Для вариантов 3 и 4: \( x^2 + 6x + 51 \). \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 36 - 204 = -168 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 1 > 0 \)), парабола целиком лежит выше оси \( Ox \). Это значит, что выражение \( x^2 + 6x + 51 \) всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( x^2 + 6x + 51 < 0 \) не имеет решений. Ответ: 4 Задание 14 Это задача на геометрическую прогрессию. Начальная масса \( b_1 = 3 \) мг. Масса увеличивается в 3 раза каждые 20 минут. Значит, знаменатель прогрессии \( q = 3 \). Найдем количество периодов увеличения за 80 минут: \[ n = \frac{80}{20} = 4 \] Масса через 80 минут будет соответствовать 5-му члену прогрессии (начальный момент + 4 периода): \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] \[ b_5 = 3 \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243 \] Ответ: 243 Задание 15 Для нахождения косинуса угла используем теорему косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] Подставим известные значения: \[ 11^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 121 = 25 + 100 - 100 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 121 = 125 - 100 \cdot \cos(\angle ABC) \] Перенесем слагаемые: \[ 100 \cdot \cos(\angle ABC) = 125 - 121 \] \[ 100 \cdot \cos(\angle ABC) = 4 \] \[ \cos(\angle ABC) = \frac{4}{100} = 0,04 \] Ответ: 0,04 Задание 16 Используем теорему о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. \[ AK^2 = AB \cdot AC \] По условию \( AB = 4 \), \( AC = 64 \). \[ AK^2 = 4 \cdot 64 \] \[ AK^2 = 256 \] \[ AK = \sqrt{256} = 16 \] Ответ: 16