Решение задачи №16 (24891) ЕГЭ по Информатике

Задание №16 (№ 24891) Условие: Алгоритм вычисления функции \(F(n)\) задан соотношениями: 1) \(F(n) = n\) при \(n \le 10\); 2) \(F(n) = n - 7 + F(n - 21)\) при \(n > 10\). Найти значение выражения: \((F(185734) - F(185650)) / F(40)\). Решение: 1. Проанализируем структуру функции \(F(n)\) для \(n > 10\). Заметим, что при каждом шаге рекурсии аргумент уменьшается на 21, а к результату прибавляется текущее \(n - 7\). Это арифметическая прогрессия, которая продолжается до тех пор, пока аргумент не станет меньше или равен 10. 2. Вычислим \(F(40)\): \[F(40) = 40 - 7 + F(40 - 21) = 33 + F(19)\] \[F(19) = 19 - 7 + F(19 - 21) = 12 + F(-2)\] Так как \(-2 \le 10\), то \(F(-2) = -2\). Подставим значения: \[F(40) = 33 + 12 - 2 = 43\] 3. Рассмотрим разность \(F(n) - F(n - 84)\). Заметим, что \(84 = 4 \cdot 21\). Это значит, что между этими значениями ровно 4 шага рекурсии. Пусть \(n = 185734\), тогда \(n - 84 = 185650\). Распишем \(F(n)\) через \(F(n - 84)\): \[F(n) = (n - 7) + F(n - 21)\] \[F(n) = (n - 7) + (n - 21 - 7) + F(n - 42)\] \[F(n) = (n - 7) + (n - 28) + (n - 42 - 7) + F(n - 63)\] \[F(n) = (n - 7) + (n - 28) + (n - 49) + (n - 63 - 7) + F(n - 84)\] \[F(n) = (n - 7) + (n - 28) + (n - 49) + (n - 70) + F(n - 84)\] 4. Найдем разность \(F(n) - F(n - 84)\): \[F(n) - F(n - 84) = (n - 7) + (n - 28) + (n - 49) + (n - 70)\] Подставим \(n = 185734\): \[F(185734) - F(185650) = (185734 - 7) + (185734 - 28) + (185734 - 49) + (185734 - 70)\] \[F(185734) - F(185650) = 185727 + 185706 + 185685 + 185664 = 742782\] 5. Вычислим итоговое выражение: \[\frac{F(185734) - F(185650)}{F(40)} = \frac{742782}{43} = 17274\] Ответ: 17274