Решение задачи на среднее значение функции двух переменных

Для решения данной задачи воспользуемся определением среднего значения функции двух переменных в области \(D\). Среднее значение функции \(f(x, y)\) в области \(D\) вычисляется по формуле: \[f_{cp} = \frac{1}{S(D)} \iint\limits_D f(x, y) dx dy\] где \(S(D)\) — площадь области \(D\). Из условия задачи нам известно, что среднее значение \(f_{cp} = -4\). Чтобы найти искомый двойной интеграл, выразим его из формулы: \[\iint\limits_D f(x, y) dx dy = f_{cp} \cdot S(D)\] Теперь необходимо найти площадь области \(D\), изображенной на рисунке. Область \(D\) представляет собой треугольник. Определим координаты его вершин по графику: 1. Левая нижняя вершина: \((-1, -1)\) 2. Правая нижняя вершина: \((1, -1)\) 3. Правая верхняя вершина: \((1, 1)\) Найдем длину основания и высоту этого треугольника: Основание (горизонтальный катет) лежит на прямой \(y = -1\) от \(x = -1\) до \(x = 1\). Его длина: \[a = 1 - (-1) = 2\] Высота (вертикальный катет) лежит на прямой \(x = 1\) от \(y = -1\) до \(y = 1\). Ее длина: \[h = 1 - (-1) = 2\] Площадь прямоугольного треугольника равна: \[S(D) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\] Теперь подставим известные значения в формулу для интеграла: \[\iint\limits_D f(x, y) dx dy = -4 \cdot 2 = -8\] Ответ: -8