Решение повторного интеграла ∫₀^(√(π/2)) dy ∫₀^(2y) y² cos(xy/2) dx

Задание: Вычислить повторный интеграл \[ I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} dy \int_{0}^{2y} y^2 \cos \frac{xy}{2} dx \] Решение: 1. Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной \(x\). При этом переменная \(y\) рассматривается как константа: \[ \int_{0}^{2y} y^2 \cos \left( \frac{xy}{2} \right) dx \] Вынесем \(y^2\) за знак внутреннего интеграла: \[ y^2 \int_{0}^{2y} \cos \left( \frac{y}{2} \cdot x \right) dx \] Используем формулу \(\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax)\), где \(a = \frac{y}{2}\): \[ y^2 \cdot \left[ \frac{1}{y/2} \sin \left( \frac{xy}{2} \right) \right]_{0}^{2y} = y^2 \cdot \frac{2}{y} \cdot \left[ \sin \left( \frac{xy}{2} \right) \right]_{0}^{2y} \] \[ = 2y \cdot \left( \sin \left( \frac{2y \cdot y}{2} \right) - \sin(0) \right) = 2y \sin(y^2) \] 2. Теперь подставим полученный результат во внешний интеграл по переменной \(y\): \[ I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} 2y \sin(y^2) dy \] Для решения применим метод замены переменной. Пусть \(t = y^2\), тогда \(dt = 2y dy\). Изменим пределы интегрирования: Если \(y = 0\), то \(t = 0^2 = 0\). Если \(y = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\), то \(t = \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 = \frac{\pi}{2}\). 3. Вычисляем интеграл по \(t\): \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) dt = \left[ -\cos(t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ I = -\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - (-\cos(0)) \] Так как \(\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\) и \(\cos(0) = 1\), получаем: \[ I = -0 + 1 = 1 \] Ответ: 1