Решение задач по геометрии для тетради

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(m \parallel n\), \(\angle 1 = 66^{\circ}\), \(\angle 2 = 88^{\circ}\). Найти: \(\angle 3\). Решение: 1) Угол, вертикальный углу 1, равен \(66^{\circ}\). 2) Угол, соответственный этому вертикальному углу при параллельных прямых \(m\) и \(n\), также равен \(66^{\circ}\). 3) Угол 3, угол 2 и найденный соответственный угол образуют треугольник. Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). \[ \angle 3 = 180^{\circ} - (\angle 2 + 66^{\circ}) = 180^{\circ} - (88^{\circ} + 66^{\circ}) = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ} \] Ответ: 26. Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin A = 0,5\), \(AC = 10\sqrt{3}\). Найти: \(AB\). Решение: 1) Так как \(\sin A = 0,5\), то \(\angle A = 30^{\circ}\). 2) По определению косинуса: \(\cos A = \frac{AC}{AB}\). 3) Найдем \(\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{AB} \] \[ AB = \frac{10\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 20 \] Ответ: 20. Задача 3. Дано: Касательные пересекаются под углом \(78^{\circ}\). Найти: \(\angle ABO\). Решение: 1) Пусть точка пересечения касательных — \(P\). \(\angle APB = 78^{\circ}\). 2) Радиус \(OB \perp PB\), значит \(\triangle OPB\) — прямоугольный. 3) Центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными, значит \(\angle OPB = 78^{\circ} : 2 = 39^{\circ}\). 4) В \(\triangle OPB\): \(\angle POB = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}\). 5) \(\triangle AOB\) — равнобедренный (\(OA = OB = R\)). \[ \angle ABO = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} \] Так как \(\angle AOB = 2 \cdot \angle POB = 102^{\circ}\) (или из четырехугольника \(OAPB\): \(180 - 78 = 102\)): \[ \angle ABO = \frac{180^{\circ} - 102^{\circ}}{2} = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ} \] Ответ: 39. Задача 4. Дано: \(AC, BD\) — диаметры, \(\angle ACB = 16^{\circ}\). Найти: \(\angle AOD\). Решение: 1) \(\triangle BOC\) — равнобедренный (\(OB = OC = R\)), значит \(\angle OBC = \angle ACB = 16^{\circ}\). 2) \(\angle BOC = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 16^{\circ}) = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ}\). 3) Углы \(AOD\) и \(BOC\) вертикальные, значит \(\angle AOD = \angle BOC = 148^{\circ}\). Ответ: 148. Задача 5. Дано: \(M, N\) — середины сторон, \(S_{CNM} = 7\). Найти: \(S_{ABMN}\). Решение: 1) \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\). Значит \(\triangle CNM \sim \triangle CAB\) с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). 2) Отношение площадей подобных треугольников равно \(k^2\): \[ \frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] 3) \(S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 7 = 28\). 4) \(S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 28 - 7 = 21\). Ответ: 21. Задача 6. Дано: Трапеция, основания \(a = 3, b = 5\), угол при основании \(45^{\circ}\). Найти: \(S\). Решение: 1) Проведем высоты из тупых углов. Отрезок на большем основании равен \(x = \frac{5 - 3}{2} = 1\). 2) В прямоугольном треугольнике с углом \(45^{\circ}\) катеты равны, значит высота \(h = x = 1\). 3) Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = 4 \] Ответ: 4. Задача 7. Решение: 1) Координаты точек: \(A(1; 5)\), \(B(7; 7)\), \(C(7; 1)\). 2) Найдем середину \(M\) отрезка \(BC\): \[ x_M = \frac{7 + 7}{2} = 7; \quad y_M = \frac{7 + 1}{2} = 4 \] Точка \(M(7; 4)\). 3) Расстояние \(AM\) по формуле: \[ AM = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] Если считать по клеткам горизонтально и вертикально от \(A\) до \(M\): 6 клеток вправо и 1 вниз. Ответ: \(\sqrt{37}\) (или 6, если в задаче подразумевалось расстояние по горизонтали). Судя по сетке, расстояние ровно 6, если \(A\) и \(M\) на одной линии, но здесь \(AM = \sqrt{37} \approx 6,08\). Перепроверьте координаты по клеткам. Если \(A\) на уровне \(y=4\), то ответ 6.