Решение задач на признаки подобия треугольников

Ниже представлено решение задач на признаки подобия треугольников, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = 8 \), \( BC = 10 \), \( \angle B = 35^\circ \). \( \triangle PMK \), \( PM = 4 \), \( PK = 5 \), \( \angle P = 35^\circ \). Решение: 1. Рассмотрим отношение соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{PM} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ \frac{BC}{PK} = \frac{10}{5} = 2 \] Следовательно, \( \frac{AB}{PM} = \frac{BC}{PK} \). 2. Углы между этими сторонами равны: \( \angle B = \angle P = 35^\circ \). 3. Треугольники \( ABC \) и \( PMK \) подобны по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Ответ: \( \triangle ABC \sim \triangle PMK \). Задача 2 Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( \angle B = 25^\circ \). \( \triangle NFE \), \( NF = NE \), \( \angle N = 25^\circ \). Решение: 1. Так как треугольники равнобедренные, то отношения боковых сторон равны: \[ \frac{AB}{NF} = \frac{BC}{NE} \] 2. Углы при вершинах равны: \( \angle B = \angle N = 25^\circ \). 3. Треугольники подобны по второму признаку подобия. Ответ: \( \triangle ABC \sim \triangle NFE \). Задача 3 Дано: \( \triangle PME \), стороны 32, 24, 40. \( \triangle DFN \), стороны 4, 3, 5. Решение: 1. Проверим пропорциональность всех трех сторон: \[ \frac{PM}{DF} = \frac{32}{4} = 8 \] \[ \frac{ME}{FN} = \frac{24}{3} = 8 \] \[ \frac{PE}{DN} = \frac{40}{5} = 8 \] 2. Так как \( \frac{PM}{DF} = \frac{ME}{FN} = \frac{PE}{DN} \), треугольники подобны по третьему признаку (по трем сторонам). Ответ: \( \triangle PME \sim \triangle DFN \). Задача 4 Дано: Трапеция \( ABCD \), \( BC = 8 \), \( AD = 27 \), диагональ \( AC = 18 \). Решение: 1. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle CAD \). 2. \( \angle BCA = \angle CAD \) как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \). 3. Проверим отношение сторон, образующих эти углы: \[ \frac{BC}{AC} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \] \[ \frac{AC}{AD} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} \] Отношения не равны (\( 4/9 \neq 6/9 \)). Ответ: Треугольники не подобны по данным сторонам. Задача 6 Дано: \( \triangle ABD \), на стороне \( BD \) точка \( C \). \( AB = 8 \), \( BC = 4 \), \( CD = 12 \). Решение: 1. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DBA \). У них общий \( \angle B \). 2. Стороны \( \triangle ABC \), прилежащие к \( \angle B \): \( BC = 4 \), \( AB = 8 \). 3. Стороны \( \triangle DBA \), прилежащие к \( \angle B \): \( AB = 8 \), \( BD = BC + CD = 4 + 12 = 16 \). 4. Проверим пропорциональность: \[ \frac{BC}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{AB}{BD} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \] 5. Треугольники подобны по второму признаку. Ответ: \( \triangle ABC \sim \triangle DBA \).