Решение задачи №5: Нахождение стороны равностороннего треугольника с зарядами

Задача №5 Дано: \(q_1 = q_2 = q_3 = q = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\) (20 нКл) \(F_{рез} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Н}\) (10 мН) \(k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}\) Найти: \(a\) — ? Решение: Рассмотрим один из зарядов. На него действуют две силы отталкивания со стороны двух других зарядов. Так как треугольник равносторонний, модули этих сил равны: \[F_1 = F_2 = k \frac{q^2}{a^2}\] Угол между векторами этих сил в равностороннем треугольнике составляет \(60^\circ\). Результирующая сила \(F_{рез}\) находится по правилу параллелограмма (или через проекции): \[F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)}\] Так как \(F_1 = F_2\), а \(\cos(60^\circ) = 0,5\), формула упрощается: \[F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2 + 2 F_1^2 \cdot 0,5} = \sqrt{3 F_1^2} = F_1 \sqrt{3}\] Подставим выражение для \(F_1\): \[F_{рез} = \frac{k q^2 \sqrt{3}}{a^2}\] Выразим из этой формулы сторону треугольника \(a\): \[a^2 = \frac{k q^2 \sqrt{3}}{F_{рез}}\] \[a = q \sqrt{\frac{k \sqrt{3}}{F_{рез}}}\] Подставим числовые значения: \[a = 20 \cdot 10^{-9} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 1,73}{10 \cdot 10^{-3}}} = 20 \cdot 10^{-9} \cdot \sqrt{1,557 \cdot 10^{12}}\] \[a = 20 \cdot 10^{-9} \cdot 1,248 \cdot 10^6 \approx 0,02496 \text{ м}\] Переведем в сантиметры: \[a \approx 2,5 \text{ см}\] Ответ: 3) 2,5 см.