Решение Задачи 28: Параллелограмм

Задача 28 Условие: Две точки на сторонах параллелограмма соединили с тремя его вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей оранжевых треугольников равна сумме площадей голубых треугольников. Решение: Пусть \(ABCD\) — данный параллелограмм. Обозначим его площадь как \(S\). Пусть точка \(M\) лежит на стороне \(CD\), а точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). 1. Рассмотрим треугольник \(ABM\). Его основание \(AB\) совпадает со стороной параллелограмма, а высота, опущенная из точки \(M\) на прямую \(AB\), равна высоте параллелограмма \(h_{AB}\). Площадь треугольника \(ABM\) вычисляется по формуле: \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} \] Так как площадь параллелограмма \(S = AB \cdot h_{AB}\), то: \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} S \] 2. Аналогично рассмотрим треугольник \(ADN\). Его основание \(AD\) совпадает со стороной параллелограмма, а высота, опущенная из точки \(N\) на прямую \(AD\), равна высоте параллелограмма \(h_{AD}\). Площадь треугольника \(ADN\) вычисляется по формуле: \[ S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AD} \] Так как площадь параллелограмма \(S = AD \cdot h_{AD}\), то: \[ S_{ADN} = \frac{1}{2} S \] 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что площади этих треугольников равны: \[ S_{ABM} = S_{ADN} \] 4. На рисунке видно, что треугольники \(ABM\) и \(ADN\) имеют общую часть (четырехугольник в центре) и неперекрывающиеся части (цветные треугольники). Пусть \(S_{общ}\) — площадь их общей части. Тогда площадь треугольника \(ABM\) состоит из суммы площадей двух оранжевых треугольников и общей части: \[ S_{ABM} = S_{оранж1} + S_{оранж2} + S_{общ} \] А площадь треугольника \(ADN\) состоит из суммы площадей двух голубых треугольников и той же общей части: \[ S_{ADN} = S_{голуб1} + S_{голуб2} + S_{общ} \] 5. Так как \(S_{ABM} = S_{ADN}\), приравняем правые части: \[ S_{оранж1} + S_{оранж2} + S_{общ} = S_{голуб1} + S_{голуб2} + S_{общ} \] 6. Вычтем \(S_{общ}\) из обеих частей равенства: \[ S_{оранж1} + S_{оранж2} = S_{голуб1} + S_{голуб2} \] Что и требовалось доказать. Сумма площадей оранжевых треугольников равна сумме площадей голубых треугольников.