Решение задачи: Нахождение углов в треугольниках ACH и BCH

Задача 1. Дано: Треугольник \(ABC\) — прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)) и равнобедренный (\(AC = BC\)). \(CH\) — высота, проведенная к гипотенузе. Найти: Углы треугольников \(ACH\) и \(BCH\). Решение: 1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании (гипотенузе) равны: \[ \angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ \] 2. Высота \(CH\), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также биссектрисой и медианой. Значит, она делит прямой угол \(C\) пополам: \[ \angle ACH = \angle BCH = 90^\circ : 2 = 45^\circ \] 3. Так как \(CH\) — высота, то \(\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ\). 4. Таким образом, треугольники \(ACH\) и \(BCH\) имеют углы \(45^\circ\), \(45^\circ\) и \(90^\circ\). Ответ: \(45^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\). Задача 2. Дано: Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). \(AD\) — высота к боковой стороне \(BC\). \(\angle CAD = 34^\circ\) (угол между основанием \(AC\) и высотой). Найти: Углы треугольника \(ABC\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\) (\(\angle ADC = 90^\circ\)). Сумма острых углов в нем равна \(90^\circ\): \[ \angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \] 2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то углы при основании равны: \[ \angle A = \angle C = 56^\circ \] 3. Найдем угол при вершине \(B\): \[ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (56^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \] Ответ: \(56^\circ\), \(56^\circ\), \(68^\circ\). Задача 3*. Дано: Треугольник \(PRS\). \(\angle P = 84^\circ\). Внешний угол при вершине \(S\) (обозначим \(\angle S_{ext}\)) в 4 раза больше \(\angle R\). Найти: \(\angle R\) и \(\angle S\). Решение: 1. Пусть \(\angle R = x\). Тогда внешний угол при вершине \(S\) равен \(4x\). 2. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[ \angle S_{ext} = \angle P + \angle R \] 3. Составим уравнение: \[ 4x = 84^\circ + x \] \[ 4x - x = 84^\circ \] \[ 3x = 84^\circ \] \[ x = 28^\circ \] Значит, \(\angle R = 28^\circ\). 4. Найдем внутренний угол \(S\). Он смежный с внешним углом: \[ \angle S = 180^\circ - 4x = 180^\circ - 4 \cdot 28^\circ = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \] Проверка: \(84^\circ + 28^\circ + 68^\circ = 180^\circ\). Ответ: \(\angle R = 28^\circ\), \(\angle S = 68^\circ\).