Решение задач: квадрат и прямоугольник

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задача №3 Дано: \(ABCD\) — квадрат, сторона \(AB = 3\). Найти: \(d\) (диагональ \(AC\)). Решение: В квадрате все стороны равны, значит \(AD = AB = 3\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\). По теореме Пифагора: \[d^2 = AD^2 + CD^2\] \[d^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\] \[d = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\] Ответ: \(d = 3\sqrt{2}\). Задача №4 Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(AD = 12\), диагональ \(BD = 13\). Найти: \(P_{ABCD}\), \(S_{ABCD}\). Решение: 1) Из прямоугольного треугольника \(ABD\) по теореме Пифагора найдем сторону \(AB\): \[AB^2 + AD^2 = BD^2\] \[AB^2 + 12^2 = 13^2\] \[AB^2 + 144 = 169\] \[AB^2 = 169 - 144 = 25\] \[AB = \sqrt{25} = 5\] 2) Найдем периметр прямоугольника: \[P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34\] 3) Найдем площадь прямоугольника: \[S = AB \cdot AD = 5 \cdot 12 = 60\] Ответ: \(P = 34\), \(S = 60\). Задача №5 Дано: \(ABCD\) — ромб, \(P_{ABCD} = 52\), диагональ \(AC = 10\). Найти: \(BD\). Решение: 1) У ромба все стороны равны, поэтому сторона \(AB\): \[AB = P : 4 = 52 : 4 = 13\] 2) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. \[AO = AC : 2 = 10 : 2 = 5\] 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\) (\(\angle AOB = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем \(BO\): \[BO^2 = AB^2 - AO^2\] \[BO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[BO = \sqrt{144} = 12\] 4) Найдем вторую диагональ \(BD\): \[BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24\] Ответ: \(BD = 24\).