Решение задач из карточки: квадрат и прямоугольник

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задача 3. Дано: ABCD — квадрат, AB = 3. Найти: d (диагональ AC). Решение: В квадрате все стороны равны, значит AB = BC = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол B = 90 градусов). По теореме Пифагора: \[ d^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ d^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \] \[ d = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \] Ответ: \( d = 3\sqrt{2} \). Задача 4. Дано: ABCD — прямоугольник, AD = 12, BD = 13. Найти: \( P_{ABCD} \), \( S_{ABCD} \). Решение: 1) Из прямоугольного треугольника ABD (угол A = 90 градусов) по теореме Пифагора найдем сторону AB: \[ AB^2 + AD^2 = BD^2 \] \[ AB^2 + 12^2 = 13^2 \] \[ AB^2 + 144 = 169 \] \[ AB^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ AB = \sqrt{25} = 5 \] 2) Найдем периметр: \[ P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 \] 3) Найдем площадь: \[ S = AB \cdot AD = 5 \cdot 12 = 60 \] Ответ: \( P = 34 \), \( S = 60 \). Задача 5. Дано: ABCD — ромб, \( P_{ABCD} = 52 \), AC = 10. Найти: BD. Решение: 1) У ромба все стороны равны, поэтому сторона ромба: \[ AB = P : 4 = 52 : 4 = 13 \] 2) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения (пусть это точка O) делятся пополам: \[ AO = AC : 2 = 10 : 2 = 5 \] 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (угол O = 90 градусов). По теореме Пифагора найдем BO: \[ BO^2 + AO^2 = AB^2 \] \[ BO^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ BO^2 + 25 = 169 \] \[ BO^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ BO = \sqrt{144} = 12 \] 4) Найдем вторую диагональ BD: \[ BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24 \] Ответ: \( BD = 24 \).